基础资产价格的变动-随机微分方程.ppt

1、第9章：随机微分方程(SDE)，第1节引言，第2节SDE的解，第3节SDE的主要形式，第4节股票价格的对数正态分布特征，第1节引言，SDE，即随机价格变化被分解为可预测和不可预测两部分，分解过程使用时间t的信息集。对于不同的市场参与者，他们有不同的信息集，所以随机微分方程有不同的含义。例如，如果一个市场参与者拥有“内部信息”，并且能够提前知道所有影响价格变化的随机事件，那么在这种(不现实的)情况下，上述公式中的扩展项等于零。随机微分方程的具体形式和误差项的定义都依赖于信息集，即维纳过程对应于信息集。原因是，如果参与者知道它将如何变化，他可以完全预测这个变量，也就是说，对于任何时刻，所以这类参与

2、者的随机微分方程可以写成，而其他参与者的随机微分方程是不变的。结果表明，随机微分方程可以用于衍生金融资产的定价。至于基础资产的价格如何随时间变化，这个方程不仅给出了一个标准模型，而且它的推导过程与金融市场中交易者的行为是一致的。事实上，在给定的交易日，交易者总是预测资产价格，并随时记录新事件的发生。这些事件总是包含一些不可预测的部分，但是这些不可预测的部分将在以后被观察到。此时，这些事件已成为已知事件，并成为交易者拥有的新信息集的一部分。随机微分方程模型的一般条件是主参数和扩展参数不会随时间发生很大变化。第二节求解随机微分方程随机微分方程中包含的未知数是一个随机过程，所以解是寻找一个随机过程，

3、使其运动轨迹和发生概率与其他需要精确测量的轨迹相关联。第一，解的意义，第一页，观察在一个短而不连续的时间间隔内的有限差分，如果这个方程的解是一个随机过程，它的意思是：1。如何找到一系列随机变量来识别满足上述公式中的增量；2.你能知道满足方程的随机过程的时间函数和分布函数吗？对于任何给定的和，是否可以找到一系列的随机数满足上述等式。首先，第一页，然后当时间间隔h趋于0时，求方程的解。其次，如果连续时间过程满足以下方程，它被定义为随机微分方程的解。第一页，随机过程：2。解的类型，1强解，已知的主要参数，扩展参数和随机变量被称为随机微分方程的强解。强解类似于一般微分方程的解。注，主页，2弱解，这是一

4、个维纳过程。获得主要参数并扩展参数以满足下面的随机微分方程的过程称为随机微分方程的弱解。主页，和之间的区别和相似之处是均值为0且方差等于的维纳过程；密度函数的表达式是一样的。从这个意义上说，这两个随机误差项之间没有区别。定义两者的一系列信息集是不同的。虽然基本密度函数是相同的，但如果用不同的信息集来衡量，事实上，这两个随机过程代表了现实生活中两种根本不同的现象。描述1、主页，其中扩展项包含外生变量，表示影响完全不可预测的价格变化的极小事件。这一系列小事件形成的“历史”是瞬间的信息集合。计算一个强解就是找到在给定时间满足方程的值，也就是说，要得到一个强解，你需要知道这个集合，并且这个强解彼此对应

5、。在计算弱解时，不需要考虑生成信息集的过程，但要考虑与过程的关联。此外，这个过程可以生成另一个信息集，它是一个鞅。，说明2，因此，弱解需要满足，主页，强解和弱解有相同的主项和扩展项，所以它们有相似的统计特性。给定均值和方差，这两个解是不同的，但我们无法区分它们。如果误差项是已知的，金融分析师将选择一个强有力的解决方案。3.解决方案的选择，但是当通过求解随机微分方程对衍生金融产品进行定价时，我们不能准确地了解过程的实际情况。我们只能利用它的波动性和波动趋势。因此，在这种情况下，我们应该用弱解来给衍生产品定价。4.随机微分方程解的证明看一个特殊的随机微分方程：布莱克休斯模型在看涨期权定价中的应用。

6、变形，第一次计算，因为，普通积分、主页，而且，虽然它包含一个随机项，但它的系数是一个不随时间变化的常数。因此，随机微分方程的任何解都必须满足这个积分方程，下面用伊藤定理来求解这个方程。检查替代：主页，伊藤定理被用来计算随机微分，也就是说，如果，那么这就是给定的随机微分方程。因此，随机微分方程的强解得到如下：第一页，这就要求随机微分方程的强解。应考虑替代解，即找出依赖于参数的函数，如用伊藤定理检验这种替代是否满足随机微分方程或相应的积分方程。附注5。假设资产现值的应用是资产的价格，并且其价值的增加是不确定的，也就是说，这个随机微分方程的强解的替代答案是，第一页，最有效的预测值是条件期望：那么资产

7、的当前价格是：也就是说，现值等于当前的期望值。为了证明这个结论，我们需要先计算一下。找到它有两种方法：(2)、(1)，其中维纳过程的条件密度函数是利用维纳过程的密度函数直接找到的。(困难)，主页，(2)，用伊藤定理间接找到。(简单)，首先，让我们，其次，使用伊藤定理，再次，考虑相应的积分方程，最后，找到两边的平均值，所以，如果你记得，有，所以，所以，所以，这是，所以，第一页，也就是，所以，第一页，特别是，当随机微分方程的主要形式。这部分介绍了几个特殊的随机微分方程，并解释了它们代表什么样的资产价格以及它们是如何使用的。1.一种常系数线性随机微分方程，形式为：是变量t的标准wiener过程。在随

8、机微分方程中，主系数和展开系数不随时间变化，即它们与信息集无关。首页，方差，适用条件，短时间间隔内价格变动的平均值h，(1)资产价格相对稳定；(2)价格变化趋势是线性的；(3)波动项不是无限的；(4)资产价格没有规律的“跳跃”。常系数随机微分方程描述了资产价格围绕线性趋势的波动。几何随机微分方程，Black和Hughes模型，形式为：即主要参数和扩展参数都依赖于时间t的信息，趋势变化与标准变化成正比。变形，即附加条件和扩展条件之间的相对变化仍然是一个常数。几何模型描述了指数趋势下资产价格的随机波动。对于大多数资产价格而言，这一指数趋势似乎更为现实。平方根过程遵循指数趋势，但标准差是平方根的函数

9、。方差，即方差与。实际上，这将增加相对于。误差项的方差与。因此，如果资产价格的变化率不随增长而迅速增加，则使用该模型更为合适。方差，主页，4。平均值调整过程的形式为：如果它小于平均值，那么它趋向于正，所以它最终返回到平均值。，它表明在平均调整过程中有一个主要趋势，但这一趋势的偏离并不是完全随机的。这个过程可能会稍微偏离长期趋势，但最终会回到正常趋势。这种偏离的平均程度由参数控制，但是当参数变小时，偏离时间将变长。这时，资产价格会表现出某种可预测的周期性，这使得模型与市场有效性假设相违背。5.奥伦斯坦乌伦贝克过程的形式是：其中主项是负相关的，系数是；扩展项是常量参数类型。这是均值调整随机微分方程

10、的一个特例。结果表明，该模型表明资产价格在0附近波动，其偏离最终将回到长期0均值状态。参数控制偏差的时间越长，平均恢复速度就越快。6.随机波动随机微分方程的主要参数和扩展参数可以通过随机性得到，这对于衍生金融产品更有应用价值。因为波动性不仅随时间变化，而且在给定的价格下随机波动。例如，如果资产价格的随机微分方程遵循与维纳过程相关的随机微分方程，资产波动率的长期平均值为，但在任何时间t，实际波动率可能偏离该长期平均值，调整系数为，那么市场参与者可以根据这些因素更好地计算出预期资产价格和预期价格波动率。利用这个渐进的随机微分方程，我们可以得到越来越复杂的模型来反映现实生活中的金融现象。增量对变化率

11、有不可预测的影响，这与对资产价格的影响无关。回到首页下一步，伊藤定理被应用于推导随机过程随后的变化。第四部分是股票价格的对数正态分布特征。如果股票价格S遵循几何布朗运动，即定义，因为有一个可用的Eto公式，函数G遵循的过程是，第一页，并且因为和是常数，上述公式表明G遵循广义维纳过程。它有恒定的漂移率和恒定的变化率。这表明从时间t到时间t，变化的特征是正态分布，平均值为，方差为。如果S代表当前时间t的股票价格和未来某个时间的股票价格，则时间间隔的变化为，第一页，即有一个均值为m、标准差为n的正态分布。根据正态分布的特点，下面的公式成立：表明它服从正态分布，其标准差与成正比，也就是说，股票价格对数变化的不确定性是由标准差估计的，与估计时间的平方根成正比。有一只股票的初始价格为40美元，预期年回报率为16%，年波动率为20%。六个月后，股价的概率分布是什么？计算分布的平均值和标准偏差(95%置信区间)。解，六个月后，股票价格的随机分布服从对数正态分布，也就是说，因为有一个正态变量，在均值的1.96的标准差范