阿基米德螺线浅析.pptx

1、阿基米德螺线浅析,一、自然界中的阿基米德螺线现象,1. 神奇的蜘蛛网 蜘蛛是地球上古老的节肢动物之一。它们的生活历程可以追溯到2亿年以前，并且至今仍然保存着一个庞大的家族。蜘蛛网是由部分种类的蜘蛛吐丝所编成的网状物，用以捕获昆虫、小型脊椎动物等作食物，或用以结巢居住。蜘蛛 网堪称蜘蛛巧夺天工的杰作，经过上亿年的演化，现在的蜘蛛网不仅有不可比拟的强度和韧性还具精美的几何图形。其中蜘蛛丝的捕食丝是由外向网心开始铺设有黏性的捕食螺线所铺设的捕食螺线其间的距离是相等的。就是本文所说的阿基米德螺线。,3.四季的阴阳无限等分变化图 在四季的阴阳无限等分变化图中，以圆心为极点,以极点到夏至的方向为极轴的正方

2、向建立极坐标系,则阴、阳的大小与时间之间有数据对应关系。,显然，这是两条阿基米德螺线。,2.扑火的飞蛾 在亿万年前,没有人造火光 ,飞蛾完全靠天然光源日光 、月光 或星光指引飞行。由于太阳、月亮、星星距离地球都很远 ,它们发出的光线照到地球上可以认为是平行直线。当飞蛾直线飞行时,它在任何位置的前进方向与光线的夹角都是一个固定值。可是,如果光源离得很近,不能将它们发出的光线看作平行光时,飞蛾再按照固有的习惯飞行,飞出的路线就不是直线,而是一条不断折向灯光光源的阿基米德螺线。,二、模型的建立,1. 阿基米德螺线（亦称等速螺线）是指当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转

3、，则点P的轨迹称为“阿基米德螺线”。从物理的角度来说，阿基米德螺线是匀速直线运动和匀速圆周运动的合成，如右图：,阿基米德螺线的一般方程中是： 在极坐标体系中，阿基米德螺线的方程是： = a (a=const) 即在坐标中，阿基米德螺线上的点距原点的距离与从极轴OX转过的角度成正比例。阿基米德螺线的螺距是一个常数2a,(即当=2时，r=2a)。其证明是： r=a, r=a(+2) 则 r=r-r=2a。 所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线，就可以看其在平面内是否符合r = a的等式。,2. 阿基米德螺线 阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学

4、生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。 设动点开始运动时离定点 O的距离为 ，即初始位置是 ，M在l上的运动速度v，l 绕O点转动的角速度为 ，经过时间t,转过角度 , 动点到达的位置为 则有 (1) 及 (2) 由(1)(2)消去t得 ,设 则有 。这就是阿基米德螺线的极坐标方程。 若 ， 是螺线 上的任意两点，则由 ， 可得 。这表明，当动点沿阿基米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量 与极角的改变量 成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量与它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。,三、阿基米德螺线的性质,若点（ ）在曲线 上，则点（ ）在曲线 上，则这两支曲线关于 线对称。特别是（图1）当 时，阿基米德螺线 可以画出关于 的对称部分。,若,则有,即,.因而（图2）过极点O的每一条射线都被阿基米德螺线截成了无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段长度都是,四、阿基米德螺线的应用,蜗壳入口 旋流器蜗壳是将液流的直线运动变为圆周运动的转换器。既要使悬浮液顺畅地进入旋流状态，又要使进入旋流状态的过渡沿程损失小，要求