折叠几何综合专题16道题目含答案.doc

1、01如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG / CD交AF于点G,连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形;探究线段EG, GF，AF之间的数量关系，并说明理由;若AG= 6, EG = 2 5，求BE的长.BEC(1)证明：由折叠性质可得，EF= FD，/ AEF=Z ADF = 90/ EFA=Z DFA, EG = GD, t EG/DC,. / DFA=Z EGF,/EFA=Z EGF，二 EF = EG= FD = GD,二四边形 EFDG 是菱形;1解：EG2 = 2GF AF.理由如下：如解图，连接ED，交AF于点H ,t四边形EFDG是菱形，1

2、 1 DE丄AF, FH =GH = qGF, EH = DH = qDE,t/ FEH = 90 / EFA=Z FAE, / FHE = Z AEF = 90 RtA FEH s Rt FAE, EF _ FH AF = EF,即 EF2FH AF,又t FH = GF, EG= EF, EG2= *GF AF;HE解：T AG= 6, EG= 2 5, EG2 = 2AF -GF, (2 5)2 = ；(6 + GF) GF,解得 GF = 4 或 GF = 10(舍), GF = 4,二 AF = 10. t DF = EG= 2 5,二 AD = BC= AF2 DF2 = 4 5,

3、 DE = 2EH = 2 EG2 (；GF) 2= 8,t/ CDE + / DFA= 90 / DAF + / DFA= 90 / CDE = / DAF , t/ DCE=/ ADF = 90 , RtA DCE sRt ADF , DC=器,即畀玄, EC=855 , BE = BC-EC=5502如图，将矩形ABCD沿对角线BD对折，点C落在E处，BE与AD相交于点F，若DE = 4, BD = 8.(1)求证：AF = EF;求证：BF平分/ ABD.DC证明：（1）在矩形 ABCD 中，AB = CD，/ A=Z C = 90 BED是厶BCD对折得到的， ED= CD，/ E=

4、Z C, ED = AB,/ E=Z A, （2 分）又：广 AFB=Z EFD , ABBA EDF（AAS）, AF= EF; （4 分）（2）在 RtABCD 中，T DC = DE = 4,DC 1sin / CBD = bd = 2, / CBD = 30 （5 分） / EBD=Z CBD = 30 / ABF= 90-30 2= 30 , （7 分） / ABF=/ EBD , BF 平分/ ABD.（8 分）03把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合(E、F两点均在BD上)，折痕分别为 BH DG(1) 求证： BHEA DGF(2) 若 AB=

5、 6cm, BC= 8cm,求线段 FG的长。【解答】解：（1）v四边形ABCD是矩形, AB=CD，/ A= / C=90，/ ABD= / BDC , BEH是厶BAH翻折而成，/ 1 = / 2, / A= / HEB=90 , AB=BE , DGF是厶DGC翻折而成，/ 3= / 4，/ C=Z DFG=90 , CD=DF , BEH与厶DFG中，/ HEB= / DFG , BE=DF，/ 2= / 3, BEH DFG ,（2）四边形 ABCD 是矩形，AB=6cm , BC=8cm , AB=CD=6cm , AD=BC=8cm , BD= 二厂-=印；H*=10, 由（1）

6、知，BD=CD , CG=FG , BF=10-6=4cm，设 FG=x，贝U BG=8-x ,在 Rt BGF 中，BG2=BF2+FG2，即（8-x） 2=42+x2，解得 x=3，即 FG=3cm .【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应 角相等是解答此题的关键.04把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B 和顶点D重合，折痕为EF.若BF=4, FC=2,则/ DEF 的度数是考点：翻折变换(折叠问题) 专题：计算题。分析：根据折叠的性质得到 DF=BF=4

7、,/ BFE= / DFE，在Rt DFC中，根据含30的直角 三角形三边的关系得到/ FDC=30，则/ DFC=60 ,所以有/ BFE= / DFE= (180- 60)吃,DEF的度然后利用两直线平行内错角相等得到/数.解答：解：矩形纸片 ABCD按如图方式折叠，使 顶点B和顶点D重合，折痕为EF, DF=BF=4，/ BFE= / DFE ,在 Rt DFC 中，FC=2, DF=4 ,/ FDC=30 ,/ DFC=60 ,/ BFE= / DFE= (180 - 60)吃=60,/ DEF= / BFE=60 .故答案为60.点评：本题考查了折叠的性质：折叠前后的两图形全等，即对

8、应角相等，对应线段相等也 考查了矩形的性质和含 30的直角三角形三边的关系.05如图，在矩形 ABCD中，AB=8 , BC=16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重 合，则折痕EF的长为（）A.6 B.12 C.2 = D. 4 -考点：翻折变换(折叠问题).分析： 设BE=x，表示出CE=16 - x，根据翻折的性质可得 AE=CE，然后在Rt ABE中, 利用勾股定理列出方程求出X，再根据翻折的性质可得/ AEF= / CEF,根据两直线平行，内错角相等可得/ AFE= / CEF，然后求出/ AEF= / AFE，根据等角对等边可得 AE=AF，过 点E作EH丄AD于H，可得四边

9、形 ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解.解答： 解：设 BE=x，贝U CE=BC - BE=16 - x,沿EF翻折后点C与点A重合， AE=CE=16 - x,2 2 2在 Rt ABE 中，AB +BE =AE ,即 82+x2= (16- x) 2,解得x=6 , AE=16 - 6=10,由翻折的性质得，/ AEF= / CEF,矩形 ABCD 的对边 AD / BC，/ AFE= / CEF，/ AEF= / AFE , AE=AF=10 ,过点E作EH丄AD于H，则四边形 ABEH是矩形， EH=AB=8 , AH=BE=6

10、 , FH=AF - AH=10 - 6=4,在 Rt EFH 中，EF= I沪广三二=_ .=4 匸.故选D .点评：本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出 BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口.06如图，将矩形纸片 ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线 BD上，得折痕BE、BF，则第1题图分析：根据四边形 ABCD 是矩形，得出/ ABE=Z EBD=Z ABD，/ DBF = / FBC = / DBC，再 根据/ ABE+ / EBD+ / DBF+ / FBC=Z ABC=90 得出/ EBD + Z DBF=45 从而求出

11、 答案解答：解：四边形ABCD是矩形，根据折叠可得/ ABE= / EBD= / ABD，/ DBF=Z FBC= / DBC ,/ ABE+Z EBD+Z DBF+Z FBC = Z ABC=90 ,/ EBD+ Z DBF =45，即/ EBF=45 ,故答案为：45哪些角是相等的,点评： 此题考查了角的计算和翻折变换，解题的关键是找准图形翻折后,再进行计算，是一道基础题.C上.若 AB=6 , BC=9 ,07如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点 则BF的长为（）考点：翻折变换(折叠问题).分析：先求出BC再由图形折叠特性知，C F=CF=BC - BF=9 -

12、BF,在直角三角形 C BF中, 运用勾股定理 bf2+bc 2=c f2求解.解答：解：点C是AB边的中点，AB=6 , BC=3,由图形折叠特性知，C F=CF=BC - BF=9 - BF,在直角三角形 CBF中，BF2+BC 2=C F2,2 2 BF +9= ( 9- BF),解得，BF=4 ,故选：A 点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高同时也考查了列方程求解的能力解题的关键是找出线段的关系.则长08如图，将矩形 ABCD沿_CE向上折叠，使点 B落在AD边上的点F处.若AE=BE ,AD与宽AB的比值是_翻折变换（折叠冋题）解答:由AE=BE，可设 AE=2

13、k，贝U BE=3k , AB=5k .由四边形 ABCD 是矩形, 可得/ A= / ABC= / D=90 , CD=AB=5k , AD=BC .由折叠的性质可得/ EFC= / B=90 , EF=EB=3k , CF=BC，由同角的余角相等，即可得/ DCF= / AFE .在Rt AEF中，根据勾股定理求出AF= - 叮=k，由 cos/ AFE=cos / DCF 得出 CF=3 k,g卩AD=3 k，进而求解即可.解： AE=BE ,设 AE=2k，则 BE=3k , AB=5k .四边形ABCD是矩形， / A= / ABC= / D=90 , CD=AB=5k , AD=B

14、C .将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点 B落在AD边上的点F处, / EFC= / B=90 , EF=EB=3k , CF=BC , / AFE+ / DFC=90 , / DFC+ / FCD=90 ,/ DCF= / AFE ,/ cos/ AFE=cos / DCF .在 Rt AEF 中，T/ A=90 , AE=2k , AF=_,；.= k,EF CF 3k CF CF=3 匸k, AD=BC=CF=3 ;.fEk,长AD与宽AB的比值是二_2i = -二5k 5故答案为5此题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理以及三角函数的定义解 此题的关键是数形结合思想与转化思想的应用.

15、09如图，已知在矩形 ABCD中，点E在边BC上，BE=2CE，将矩形沿着过点 E的直线翻 折后，点C、D分别落在边BC下方的点C、D处，且点C、D、B在同一条直线上，折痕 与边AD交于点F, DF与BE交于点G.设AB=t，那么 EFG的周长为（用含t 的代数式表示）.:翻折变换（折叠冋题）:根据翻折的性质可得 CE=CE,再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半判断出/ EBC =30,然后求出/ BGD =60,根据对顶角相等可得/ FGE= ZZ BGD =60 ,根据两直线平行，内错角相等可得/AFG= / FGE，再求出/ EFG=60，然后判断出 EFG是等边三角形，根

16、据等边三角形的性质表示出EF,即可得解.解答：解：由翻折的性质得，CE=C E,/ BE=2CE , BE=2C E ,又/ C= C=90 ,/ EBC =30/Z FD CZD=90 ,/ BGD =60, Z FGE= ZZ BGD =60,/ AD / BC ,/ AFG= Z FGE=60 , Z EFG= (180 -Z AFG) = (180 60 =60 EFG是等边三角形， AB=t , EFG 的周长=3X-t=2.JV3 EF=t=2故答案为：2岳.10如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在E处，BE与CD相交于F ,若AD=3, BD=6.(1) 求证： EDF CB

17、F ;(2) 求/ EBC.(第1题图)考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质分析：（1）首先根据矩形的性质和折叠的性质可得DE=BC,/ E=Z C=90 ,对顶角/ DFE=Z BFC，利用 AAS 可判定 DEF BCF;（2）在RtA ABD中，根据AD=3, BD=6，可得出/ ABD=30然后利用折叠的性质可得/ DBE=30 ,继而可求得/解答：(1)证明：由折叠的性质可得：在厶DEF和厶BCF中，fZDFE=ZBFC-ZE=ZC ,t DE 二 BC DEF BCF (AAS);(2)解：在 RtA ABD 中，EBC的度数.DE=BC，/ E=Z C=

18、90 ,/ AD=3, BD=6,/ ABD=30 ,由折叠的性质可得；/ DBE= / ABD=30,/ EBC=90 - 30 - 30 =30 .本题考查了折叠的性质、矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明三角 形全等是关键.11如图，在矩形 ABCD中，点E, F分别在边AB, BC上，且AE= AB，将矩形沿直线 EF=1折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q,对于下列结论：EF=2BE;PF=2PE:FQ=4EQ:厶PBF是等边三角形.其中正确的是（A .60 =60 ,解答：解：T AEAB,3 BE=2AE,由翻折的性质得，PE=BE,/ APE=3

19、0/ AEP=90 - 30 =60 ,/ BEF=3 (180 -z AEP)(1802 2 z EFB=90 - 60 =30 , EF=2BE，故正确；/ BE=PE, EF=2PE,/ EF PF , PF 2PE，故错误；由翻折可知EF丄PB,/ EBQ= / EFB=30 , BE=2EQ, EF=2BE, FQ=3EQ，故错误；由翻折的性质，/ EFB = Z BFP=30/ BFP=30+30=60 ,/ PBF=90 -Z EBQ=90 - 30 =60 ,/ PBF=Z PFB=60 , PBF是等边三角形，故正确；综上所述，结论正确的是.故选D.点评：本题考查了翻折变换的

20、性质， 直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质, 直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的 关键.12已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点 B落在CD边上的P点处.(第6题图)(1) 如图1,已知折痕与边 BC交于点0,连结AP、OP、OA . 求证： 0CPPDA ; 若 0CP与厶PDA的面积比为1 : 4,求边AB的长；(2) 若图1中的点P恰好是CD边的中点，求Z 0AB的度数；(3)如图2, II -， 擦去折痕A0、线段0P,连结BP动点M在线段 AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且 B

21、N=PM，连结MN交 PB于点F，作ME丄BP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段 EF的长度是否发生 变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.解答：解：(1)如图1, 四边形 ABCD 是矩形， AD=BC, DC=AB，/ DAB= / B= / C=Z D=90 . 由折叠可得： AP=AB, PO=BO，/ FAO = Z BAO . Z APO= / B . / APO=90 . / APD=90 -Z CPO = Z POC. vZ D=Z C,Z APD = Z POC . OCPs PDA . OCP与厶PDA的面积比为1 : 4,.匹=里=卫=丄. PD=2O

22、C , PA=2OP , DA=2CP .PD PA DA 4 2RtA PCO 中/ AD=8, CP=4, BC=8 .设 OP=x，贝U OB=x, CO=8 - x.在vZ C=90 , CP=4 , OP=x, CO=8 - x,. x2= (8 - x) 2+42.解得：x=5 . AB=AP=2OP=10 .边 AB 的长为 10.(2)如图 1 P 是 CD 边的中点， DP=_DC.t DC=AB, AB=AP,2 DP=丄AP.T/ D=90 sin/ DAP=丄./ DAP=30.2AP 2/ DAB=90 , / PAO = Z BAO，/ DAP=30 ,OAB=30

23、 ./ OAB的度数为30.(3) 作 MQ / AN，交 PB 于点 Q,如图 2.v AP=AB, MQ / AN, QF= QB.2/ APB=Z ABP,/ MP = MQ , ME 丄 PQ,/ ABP=Z MQP APB= / MQP . MP=MQ . PE=EQ= PQ.t BN=PM ,MP = MQ , BN=QM . 2/ MQ / AN,：/ QMF = / BNF .在 MFQ 和 NFB 中，Zqkf=ZbnfZQFM=ZBFN . MFQ NFB QF = BF .tQM二BN EF=EQ+QF=PQ+丄QB=_PB .由(1)中的结论可得：PC=4, BC=8,

24、 / C=90 .2 2 2 PB=,冷,=4 匸. EF=PB=2 匸.2在（1）的条件下，当点 M、N在移动过程中，线段 EF的长度不变，长度为 2匸.第15题【分析】若 CD B恰为等腰三角形，判断以 CD为腰或为底边分为三种情况：DB DC ;CB CD;CB DB,针对每一种情况利用正方形和折叠的性质进行分析求解16或4-.5【解析】本题考查正方形、矩形的性质和勾股定理的运用，以及分类讨论思想根据题意，若 CD B 恰为等腰三角形需分三种情况讨论：（1）若DB DC时，贝U DB =16E、C在BB的垂直平分线上， EC垂直平分BB,由折叠可知点F与点C重合，不符合题 意，舍去；（3

25、）如解图，当 CB DB时，作BG丄AB与点G,交CD于点H.t AB / CD ,1 BH 丄 CD, / CB DB , DH= CD=8, AG = DH=8 , GE=AG AE=5，在 RtA B EG2中，由勾股定理得 B G=12, B H=GH B G=4在RtA B DH中，由勾股定理得 DB = 5 ,综上所述DB =1或4., 5.14如图,矩形ABCD中，AB=8, BC=6 , P为AD上一点，将ABP沿BP翻折至AEBP,PE与CD相交于点 0,且0E=0D，贝U AP的长为 . 2-1-07【答案】245【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；折叠对称的性质；勾

26、股定理，全等三角形的判定和性质；方程思想的应用.218名师原创作品答图 DG =EP .设 AP =EP =x , 则C = 8G - , x=48G 6在Rt BCG中，根据勾股定理，得PD = GE = 6 - x, DG = x ,- N 二xBC2 CG BG2，即 628 -x 2 二 2x1【分析】如答图，四边形 ABCD是矩形,:丄D =NA=NC =90, AD=BC=6, CD = AB =8.根据折叠对称的性质，得AB曲厶EBP, EP =AP, . E =/A =90 , BE =AB =8 .D = E在.ODP 和.OEG 中， OD =OE|/DOP EOG . Q

27、DP 也. QEG ASA . OP =OG , PG =GE .24解得x =.5 AP的长为24515如图，将Y ABCD沿过点A的直线折叠，使点 D落到AB边上的点D处，折痕交CD边于点E,连接BE.905 064(1) 求证：四边形BCED 是平行四边形；(2) 若 BE 平分/ ABC，求证：AB2 =AE2 BE2.【答案】证明：（1 ）如答图，将Y ABCD沿过点A的直线AE折叠, DE =DE, 4 =2.答图四边形ABCD是平行四边形， DC / AB. 1 =/3. . 2 =. 3. DE =AD. DE =AD./ Y ABCD , DC 二 AB . EC =DB. ECNDB 四边形BCED 是平行四边形.（2 ）如答图，/ BE 平分/ ABC,： . 4 =/5.四边形 BCED 是平行四边形， ED / CB . : . 4=/6 . /. .5=/6.由（1） . 2=/3 , . 2. 6. 5 =90 ，即.AEB =90 .2 2 2在RtV ABE中