《2.3.2抛物线的几何性质》课件1.ppt

1、2.3.2 抛物线的几何性质,前面我们已学过椭圆与双曲线的几何性质，它们都是通过标准方程的形式研究的，现在请大家想想抛物线的标准方程、图形、焦点及准线是什么？,一、复习回顾：,y2 = 2px (p0),y2 = -2px (p0),x2 = 2py (p0),x2 = -2py (p0),练习：填空(顶点在原点，焦点在坐标轴上),开口向右,开口向左,开口向上,开口向下,一、抛物线的几何性质,抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，y也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.,1、范围,由抛物线y2 =2px(p0),所以抛物线的范围为,2、对称性,定义：抛物线和它的轴的交点称为抛物线 的顶点

2、.,由y2 = 2px (p0)当y=0时，x=0， 因此抛物线的顶点就是坐标原点(0，0).,注:这与椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点不同.,3、顶点,4、离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离 之比，叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义，可知e=1.,下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质.,开口方向,抛物线y2 =2px(p0)的开口方向向右.,+x，x轴正半轴，向右,-x，x轴负半轴，向左,+y，y轴正半轴，向上,-y，y轴负半轴，向下,特点：,1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；,2.抛物线只有一条对称轴，没有 对称中心；,3.抛物线只

3、有一个顶点、 一个焦点、一条准线；,4.抛物线的离心率是确定的，为1；,思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,(二)归纳：抛物线的几何性质,y2 = 2px (p0),y2 = -2px (p0),x2 = 2py (p0),x2 = -2py (p0),x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0，0),x轴,y轴,1,例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点且开口向右，抛物线经过点P(4，)，求它的标准方程，并用描点法画出图形.,解：根据已知条件，可设抛物线的方程为,因此所求方程为：,(三)、例题讲解：,描点连线画出抛物线在x轴上方的一部分；再利用对称性，画出抛

4、物线在x轴下方的另一部分.如图所示.,将抛物线方程变形为 根据 求出抛物线在x0的范围内的几个点的坐标，得,例2 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处.已知灯口直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？,解：取反射镜的轴即抛物线的轴为x轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立直角坐标系xOy，如图所示.,(三)、例题讲解：,因为灯口直径|AB|=24，灯深|OP|=10，所以点A的坐标是(10，12). 设抛物线的方程为 由点A (10，12)在抛物线上，得,抛物线的焦点F为(3.6，0). 所以灯泡与反射镜顶点

5、的距离是3.6cm.,变式题：求并顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点M(2，)，抛物线的标准方程.,(三)、例题讲解：,例3 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并指出它们的开口方向：,解：(1)焦点坐标是 准线方程是 抛物线开口向左. (2)把抛物线方程化成标准方程 所以焦点坐标是 准线方程是 抛物线开口向上.,(三)、例题讲解：,(3)把抛物线方程化成标准方程 当a0时，焦点坐标是 准线方程是 抛物线开口向上； 当a0时，焦点坐标是 准线方程是 抛物线开口向下.,例4 求以坐标原点为顶点、坐标轴为轴且经过点P(-2，-4)的抛物线的方程.,解：(1)如果抛物线的轴为x轴且开口向左，那

6、么设抛物线的方程为 因为点P(-2，-4)在抛物线上，所以 代入方程得 p=4. 因此所求的抛物线方程是 图形如图中的抛物线 .,(三)、例题讲解：,(2)如果抛物线的轴为y轴且开口向下，那么设抛物线的方程为 因为点P(-2，-4)在抛物线上，所以 代入方程得 p=0.5. 因此所求的抛物线方程是 图形如图中的抛物线 .,练习1：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M(4，2)的抛物线的标准方程为,练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M(-5， )到焦点距离为6，则抛物线的标准方程为,练习3：抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是,练习4： 抛物线y2=x和圆(x-3)2+y2=1上最近的两点之间的距离是( ),课堂练习：,求适合下列条件的抛物线的方程：,(1)顶点在原点，焦点F为(0，5)； (