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1、1,第五章 定积分,定积分的概念与性质 微积分基本定理 定积分的换元积分法 定积分的分部积分法 定积分的应用 广义积分,5.1 定积分的概念与性质,5.1.1 定积分问题举例 1.曲边梯形的面积,3,(1) 分割:,将区间a, b任意分为 n 个子区间，,(2) 近似：,任取,(3) 作和：,(4) 取极限：,记,分点为：,4,设物体作直线运动, 已知速度,是时间间隔,上的, 计算在这段时间内物体所经过的路程.,连续函数, 且,若是匀速直线运动，,(1) 分割:,(2) 近似：,任取,(3) 作和：,(4) 取极限：,记,2. 变速直线运动的路程,5,则称函数 f (x) 在a , b上可积,

2、记作:,设函数 f (x) 在 a , b 上有定义,把 a , b 任意分割成 n 个小区间:,任取,作和,记,若极限,存在,此极限值为函数f (x)在a , b上的定积分.,即,5.1.2 定积分的概念,定义5.1.1,6,1. 曲边梯形的面积,2. 变速直线运动的路程,定积分的几何意义,7,存在,它与区间的分法及点的取法无关.,注意,是指极限,(2). 定积分是一个数,与积分变量用什么记号无关.,只取决于被积函数和积分区间,(3). 规定:,且只有有限个间断点,结论,(1).函数 f (x) 在a , b上可积,1. 若函数 f (x) 在a , b上可积,则 f (x) 在a , b上

3、有界.,2. 若函数 f (x) 在a , b上连续,则 f (x) 在a , b上可积.,3. 若函数 f (x) 在区间a , b上有界,则 f (x) 在a , b上可积.,8,例1. 利用定积分定义计算,解,把区间0 , 1 n 等分,分点为,取,存在.,9,性质1.,可推广到有限多个函数代数和的情形.,性质2.,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,说明,(线性性质),5.1.3 定积分的基本性质,10,（1）若, 由几何意义知,（2）若, 由(1)知,其他情况类似可证.,证,11,性质4.,若,则,推论1.,则,推论 2.,性质6.,则,设,若,(保号性),(不等性),性质5.,(估值定理),12,(积分中值定理),由性质6知,由连续性介值定理知,使,即,性质7.,证,设 f (x) 在a , b上取得最小值 m 与最大值 M,-平均值,则至少存在一点,使,若函数 f (x) 在a , b上连续,13,例1. 估计积分值:,解,在 1,4 上的

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