学生2010chap1三维欧氏空间中的张量.ppt

1、1.1 正交坐标系的转动 1.2 物理量在空间转动变换下的分类 1.3 物理量在空间反演变换下的进一步分类 1.4 张量代数 1.5 张量分析,第一章 三维欧氏空间中的张量,1.1 正交坐标系的转动,曲线坐标系:三维空间交于一点不共面的 三条曲(射)线(坐标轴),正交曲线坐标系: 方向矢量(基矢)记为 ,满足,如：直(斜)角坐标系; 球坐标系; 柱坐标系；,讨论三维直角坐标系,1.1.1 （三维）坐标系,右旋坐标系:,左旋坐标系:,考虑右旋直角坐标系。讨论绕原点的坐标系转动,1.1.2,转动变换矩阵,有,转动前坐标系为 ，基矢为,转动后坐标系为 ，基矢为,则,基矢的变换,(1.2),一对重复指

2、标(哑指标)表示对从1到3求和,上式记为,(1.1),矩阵表示形式,(1.3),(1.3)可写为,记,(1.4),坐标的变换,考虑空间P点,在S系中坐标为,位矢,在 系中坐标为 ，位矢为,用 点乘，有,得,即转动后坐标满足,可写成,(1.5),(1.6),因为转动前后位矢不变，故有,及,1.1.3,变换矩阵的特性,OP的间距为,因为间距与坐标系转动无关，故,故有,写成矩阵形式,有,:3*3单位矩阵,三维转动变换系数矩阵a 是正交矩阵,(1.7),(1.8),将(1.5)式代入得,基矢的转动变换,点乘,得,转置有,对,上式右乘a可得,其分量形式,(1.9),(1.12),(1.7)式的正交关系分

3、别为,(1.13),(1.10),对(1.5)式两边微商后可将 写成,对坐标变换成立，即,即,(1.11),1.2 物理量在空间转动变换下的分类,(三维空间的)场：物理量是空间坐标的函数,(2.1),标量场: 一个量 且空间转动变换下不变,即满足,坐标 一样变换,即,(2.2),记为,矢量场: 三个量 在空间转动变换下像,:第i个分量,列矢形式, 行矢:,(两个坐标分量乘积的变换为 ),像两个坐标分量的乘积 一样变换,即,(2.3),二阶张量: 九个量 且在空间转动变换下,记为,:第 个分量,3*3矩阵表示,类似地,3n个量 在转动变换下,像n个坐标分量的乘积,变换,即,称为n阶张量,(2.4

4、),是 第 个分量,标量是零阶张量,矢量为一阶张量,四维空间：n阶张量: 个分量,例2.1 试证 是三维矢量,证明:,例2.2 试证 是三维欧氏空间中的二阶张量,张量的判断,证明:,由,即得,三维矢量,证明: 由,可得,由于基矢正交性,得,有,若张量,满足,(2.5),则分别称张量T相当于指标 是对称的和反对称的,构造张量T关于指标 的对称部分和反对称部分,对称部分,反对称部分,则,取n=2可得结论：任意二阶张量都可以表示为 一个对称张量(矩阵）和一个反对称张量(矩阵)之和,(2.6),(2.7),如二阶张量的表示矩阵为对称矩阵或反对称矩阵,1.3 物理量在空间反演变换下的分类,空间反演,特点

5、：改变了坐标系的左、右旋,右旋,左旋,1.3.1,定义为,则为真正的张量,简称张量,若n阶张量T的分量按照下式变换,(3.3),称为赝张量,在空间反演下,若 的分量按n个坐标乘积的,反演变换规律变换,即,(3.2),赝张量，赝矢量，赝标量,1.3.2,称为场的空间宇称,赝标量,(轴)矢量,二阶赝张量,标量,(极)矢量,二阶张量,常见的空间宇称为,标量,坐标系反演时数量和符号不变,如质量，电荷，温度等,赝标量,反演时符号改变。如极矢量 的混合乘积,不变张量:,1.3.3,若张量 在坐标转动变换不变,(3.4),例3.1 不变矢量是零矢量,例3.2 是一个二阶对称张量,而且是不变张量,证明:,证明

6、:,又二阶张量 为一单位矩阵,故,不变张量,二阶对称张量,共27个分量，6个不为零,i,j,k为(1,2,3)的正循环,i,j,k为(1,2,3)的逆循环,其它情况,(3.5),全反对称张量,(3.6),1.3.4 符号 和 的关系,Levi-Civita符号的定义,如：,构成三阶全反对称张量,33矩阵的行列式的计算为,(3.7),对于一个二阶张量 ,以其分量 为矩阵元的行列式为,(3.8),易验证,上式可写成,相邻两列交换改变符号,相邻两行交换改变符号,将 移到等式左边得:,(3.10),的转置矩阵,类似地,相邻两行交换改变符号,(3.9),由此得,当,则由(3.9)(3.10)两式得,(3

7、.11),利用公式,可得,(3.12),在(3.12)式中取,上式中第一行第一列满足,上式中取,上式中取 ，有,(3.15),(3.16),(3.14),(3.13),例3.3 证明 满足,(3.17),其中: “+”号适用右旋系,“-” 适用左旋系,证明: 正交坐标系中的基矢满足关系,(3.18),其中(i,j,k)是(1,2,3)的正循环,“+”:右旋系,“-” :左旋系,于是,(3.19),(3.20),而,根据(3.7)式,(3.20)式化为,比较以上两式,有,(3.21),(3.20a),例3.4 试证 的27个分量构成一个三阶赝张量,证明: 考虑右手系。注意在坐标转动变换下不变,有

8、,利用基矢的转动变换,三阶(不变)张量,空间反演,右旋系为左旋系,赝张量,利用(3.17)和(3.21)可得,(3.22),对于一个二阶反对称张量 ,可以利用,构造一个矢量 为,(3.24),(3.23),对应关系,则A和B的张量积用 表示,定义为:,1.4 张量代数,代数运算,1.加法:张量的和(差)为对应分量的和(差)， (须同阶),2.数乘: 张量和标量的乘法. :实（复）数,(4.1),(4.2),3.张量积(并矢): 若A: m阶;B: n阶,(4.3),m+n阶,一般情况下,4.缩阶: 运算,两个矢量的并矢,二阶张量,(4.4),称为n阶(n1)张量T的指标 与 之间的收缩,即对任

9、意二指标求和。,5.二阶张量的迹:,(4.5),n阶张量的缩阶可以得到一个n-2阶张量,以下运算都属于缩阶运算,6.两个矢量A和B的标积(点乘):,(4.6),7.点乘: 一次点乘,(4.7),两个张量相邻一对指标求和,一般地不满足交换律,二次点乘,(4.8),多次点乘依此类推,若 均为矢量,有,标量,8.叉积:,两个张量的叉积可得,(4.9),一般不满 足交换律,证明：,特例:两个矢量,9.利用关系式 和3.22,3.23两式,可证,(4.10),10. 其它公式,(4.11),11.单位张量:,(4.11),坐标,特点:1)与任何矢量f点乘,(4.14a),矩阵,2)与任何张量点乘,(4.14b),3)与二阶张量二次点乘为张量的迹,(4.14c),(4.14),1.5 张量分析,在三维直角坐标系中,微分算子(极矢量)定义为,(5.1),微分算子对张量场 的作用(微分运算),(5.2-3),(5.2-4),(5.2-1),(5.2-2),(5.2-3)式展开为(或由4.9式给出),(5.2-3a),张量运算:,(5.3-1),(5.3-2),计算公式:,(5.4),设 和 为标量场, 和 为矢量场,有,书P15式(1.5.5),(5.5),书P15式(1.5.6)(部分),体积分面积分变换公式:,余见P1