1.1坐标系的作用

1、极坐标系,2018高考全国天气预报：台风艾云尼将再登广东 华南风雨强,今天（6日）早晨5时，今年第4号台风 “艾云尼”（热带风暴级）的中心位于北纬20.6度、东经111.3度，也就是广东电白偏南方大约105公里。,台风中心于 ;,北纬20.6度、东经111.3度,也就是 .,广东电白偏南方大约105公里,平面直角坐标系,参考点、角度、距离,分析上面这句话, 怎么确定台风中心的位置?,方向,在生活中我们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,新知探究,出发点,距离,广东电白 偏南方大约105公里,一、极坐标系的建立:,在平面内取一个定

2、点O, 叫做极点。,引一条射线Ox, 叫做极轴。,再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向(通常取逆时针方向)。,这样就建立了一个极坐标系。,O,新知探究,二、极坐标系内一点的极坐标的规定,对于平面上任意一点M, 用 表示线段OM的长度, 用 表示从Ox到OM 的角度, 叫做点M的极径, 叫做点M的极角, 有序数对(, )就叫做M的极坐标。,注意:,新知探究,(1)表示线段OM的长度(不作特殊说明时, 我们认为0),(2)表示从Ox到OM的角度, 即以Ox(极轴)为始边,OM 为终边的角。(逆时针为正方向),说出下图中各点的极坐标,活学活用,思考: (1)平面上一点的极坐标是否唯一?,(2)这

3、种不唯一是由谁引起的?,不唯一,规定: 当M在极点时, 它的极坐标 =0, 可以取任意值。,三、点的极坐标的表达式的研究,如图: OM的长度为4,请说出点M的极坐标的其他表达式。,这些极坐标之间有何异同?,思考：这些极角有何关系?,这些极角的始边相同, 终边也相同; 也就是说它们是终边相同的角。,点M的极坐标统一表达式：,极径相同, 极角不同,新知探究,在极坐标系里描出下列各点(P12.1),活学活用,活学活用,四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1. 给定(, ),就可以在极坐标平面内确定的 一点M。,2.给定平面上一点M, 有 极坐标与之对应。,原因在于: 极角有无数个,新知探究,唯一

4、,无数个,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.,注意: (P10最后一行)如果限定0, 02,当M在极点时, 它的极坐标 =0, 可以取任意值。,3.一点的极坐标有否统一的表达式？,1. 建立一个极坐标系需要哪些要素,极点, 极轴, 长度单位, 角度单位和它的正方向,2.极坐标系内一点的极坐标有 种表达式,极角有无数个,课堂小结,无数,(通常取逆时针方向),极坐标和直角坐标互换,新知探究,思考:平面内的一个点的直角坐标是 ,这个点用极坐标怎样表示?,在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相同的长度单位,首先, 要建立极坐标系,点M的直角坐标

5、是,点M的极坐标是,极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y), 极坐标是(, ),新知探究,极坐标与直角坐标的互化关系式:,设点M的直角坐标是 (x, y), 极坐标是(, ),新知探究,注意: 互化公式的三个前提条件 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.,例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标.,解:,所以, 点M的直角坐标为,应用示例,已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。,变式训练,例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.,解:,因为点在第三象限, 所以,因此, 点M的极坐标为,应用示例,已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.,变式训练,O,x,A,B,分析:,用余弦定理求AB的长即可.,应用示例,例3.已知两点 , 求两点间的距离.,法1. 把A, B两点转化成直