不等关系与不等式

1、 备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2.了解不等式(组)的实际背景3.掌握不等式的性质及应用本节内容在高考中多与其他知识进行综合命题，一般是以选择题或填空题的形式出现：(1)依据不等式的性质，判断不等式或有关结论是否成立；(2)利用不等式的性质进行大小关系的比较(3)不等式的性质在不等式的证明或求解中的应用.归纳知识整合1比较两个实数大小的法则设a，bR，则(1)abab0；(2)abab0；(3)abab0.2不等式的基本性质性质性质内容注意对称性abbb，bcac可加性abacbc可乘性acbcc的符号acbd同向同正可乘性acbd可乘方性ab0anb

2、n(nN，n2)同正可开方性ab0(nN，n2)探究1.同向不等式相加与相乘的条件是否一致？提示：不一致同向不等式相加，对两边字母无条件限制，而同向不等式相乘必须两边字母为正，否则不一定成立2(1)abbanbn(nN，且n1)对吗？提示：(1)不成立，当a，b同号时成立，异号时不成立(2)不对，若n为奇数，成立，若n为偶数，则不一定成立自测牛刀小试1(教材习题改编)给出下列命题：abac2bc2；a|b|a2b2；aba3b3；|a|ba2b2.其中正确的命题是()ABC D解析：选B当c0时，不成立；当|a|1，b2时，不成立2如果aR，且a2aaa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da

3、2aaa2解析：选Ba2a0，1ab，cd，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是()Aadbc BacbdCacbd Dacbd解析：选D由不等式的性质知，ab，cdacbd.4(教材习题改编)已知ab0，cd0，则 与 的大小关系为_解析：cd0，0.又ab0，0. .答案： 5已知12x60,15y36，则xy的取值范围是_解析：15y36，36y15.又12x601236xy6015，即24xy1某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在每台A，B设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时，A，B两种设备每

4、月有效使用台时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式解：设甲、乙两种产品的产量分别为x，y，则由题意可知比较大小例2(1)已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMNCMN D不确定(2)甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则()A甲先到教室 B乙先到教室C两人同时到教室 D谁先到教室不确定自主解答(1)MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即MN

5、0.MN.(2)设甲用时间为T，乙用时间为2t，步行速度为a，跑步速度为b，距离为s，则T，statb2t.T2ts0，即乙先到教室答案(1)B(2)B若将本例(1)中“a1，a2(0,1)”改为“a1，a2(1，)”，试比较M与N的大小解：MNa1a2(a1a21)(a11)(a21)，当a1，a2(1，)时，a110，a210.(a11)(a21)0.MN0，即MN. 比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤是：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法一般步骤是：作商；变形；判

6、断商与1的大小；结论(注意所比较的两个数的符号).(3)特值法若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可以用特值法探究思路.2比较下列各组中两个代数式的大小：(1)3x2x1与2x2x1；(2)当a0，b0且ab时，aabb与abba.解：(1)3x2x12x2x1x22x2(x1)210，3x2x12x2x1.(2)aabbbaaababab.当ab，即ab0，1时，ab1，aabbabba.当ab，即ab0，1，aabbabba.当a0，b0且ab时，aabbabba.不等式性质的简单应用例3(1)(2012湖南高考)设ab1，c；acloga(bc)其中所有的正确结论的序号是

7、()ABC D(2)已知三个不等式：ab0，bcad0，0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是()A0 B1C2 D3自主解答(1) ab ，所以正确； acloga(bc)，ac1logb(ac)loga(ac)，所以logb(ac)loga(bc)所以正确(2)由ab0，bcad0，即bcad，得，即0；由ab0，0，即，得bcad，即bcad0；由bcad0，0，即0，得ab0；故可组成3个正确的命题答案(1)D(2)D与不等式有关的命题的真假判断在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式

8、性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等3(2013包头模拟)若a0ba，cdbc；(2)bd；(4)a(dc)b(dc)中能成立的个数是()A1 B2C3 D4解析：选Ca0b，cd0，ad0，ad0ba，ab0.cdd0.a(c)(b)(d)acbd0.0.(2)正确cd.ab，a(c)b(d)，即acbd.(3)正确ab，dc0，a(dc)b(dc)(4)正确1个区别不等式与不等关系的区别不等关系强调的是关系，可用符号“”，“b”，“ab，ab0；a0bb0,0c；0axb或axb0b0，m0，则真分数

9、的性质：(bm0)；假分数的性质：；0)3个注意点应用不等式的性质应注意的问题(1)在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的如ab，bcabac2bc2；若无c0这个条件，abac2bc2就是错误结论(当c0时，取“”)(3)“ab0anbn(nN*，n1)”成立的条件是“n为大于1的自然数，ab0”，假如去掉“n为大于1的自然数”这个条件，取n1，a3，b2，那么就会出现“3121”的错误结论；假如去掉“b0”这个条件，取a3，b4，n2，那么就会出现“32(4)2”的错误结论. 易误警示解题时忽视不等式的隐含条件而致误典例(2013盐城模拟)已知

10、1ab3；2ab4，则2a3b的取值范围为_解析设2a3bx(ab)y(ab)，则解得又(ab)，2(ab)1，(ab)(ab)，即2a3bd，则“ab”是“acbd”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B由ab；而当ac2，bd1时，满足，但acbd不成立，所以“ab”是“acbd”的必要不充分条件2(2013朔州模拟)已知a0，1babab2 Bab2abaCabaab2 Dabab2a解析：选D由1b0，可得bb21，又aab2a.3设，那么2的取值范围是()A. B.C(0，) D.解析：选D02，0，0.2.4(2013南平模拟)如果a，b

11、，c满足cba，且acac Bc(ba)0Ccb2ab2 Dac(ac)0解析：选C由题意知c0，则A一定正确；B一定正确；D一定正确；当b0时C不正确5设a，b为正实数，则“ab”是“a0，b0，a，由不等式的性质ab.由ab可得出ab.当ab时，可得(ab)0，即(ab)0，b0，ab0.ab.故由ab可得出ab.“ab”是“aab(ab)答案：(a2b2)ab(ab)8若xyz1，则，从大到小依次为_解析：因为xyz1，所以有xyxz，xzyz，xyzxy，于是有.答案：，9已知函数f(x)ax22ax4(a0)，若m0，a(a1)0.又mn，故a(mn)(a1)0.f(m)f(n)答案

12、：f(m)0，当x1时，(x1)(x21)0，即x3x2x1；当x1时，(x1)(x21)0，即x3x2x1；当x1时，(x1)(x21)0，即x3bc，求证：0.证明：abc，cb.acab0.0.0.又bc0，0.0.12已知f(x)ax2c且4f(1)1，1f(2)5，求f(3)的取值范围解：由题意，得解得所以f(3)9acf(1)f(2)因为4f(1)1，所以f(1).因为1f(2)5，所以f(2).两式相加，得1f(3)20，故f(3)的取值范围是1,201限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式就是()Av40 km/hCv40 km/h Dv40 km/h解析：选D速度v不超过40 km/h，即v4