2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件：第2章 第11节 导数在研究函数中的应用.ppt

1、第十一节导数在研究函数中的应用,1函数的导数与单调性的关系 函数yf(x)在某个区间内可导，则 (1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； (2)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_； (3)若f(x)0，则f(x)在这个区间内是_,单调递增,单调递减,常数函数,2函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_，且f(a)0，而且在xa附近的左侧_，右侧_，则a点叫函数的极小值点，f(a)叫函数的极小值,都小,f(x)0,f(x)0,(2)函数的极大值与极大值点： 若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点x

2、b附近其他点的函数值_，且f(b)0，而且在xb附近的左侧_，右侧_，则b点叫函数的极大值点，f(b)叫函数的极大值，极大值和极小值统称为极值,都大,f(x)0,f(x)0,3函数的最值与导数 (1)函数f(x)在a，b上有最值的条件： 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值 (2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤： 求函数yf(x)在(a，b)内的_ 将函数yf(x)的各极值与_比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值,连续不断,极值,端点处的函数值f(a)、f(b),最大,最小,1f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件吗？

3、 【提示】函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f(x)0，f(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件,2导数值为0的点一定是函数的极值点吗？它是可导函数在该点取得极值的什么条件？ 【提示】不一定如函数f(x)x3，在x0处，有f(0)0，但x0不是函数f(x)x3的极值点，对于可导函数，若xx0为其极值点，则需满足以下两个条件：f(x0)0，xx0两侧的导数f(x)的符号异号因此f(x0)0是函数yf(x)在点xx0取得极值的必要不充分条件,【答案】B,2函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f(x)在(a，b)内的图象如图2111所示，则函数f(x)在开区间(a，b

4、)内有极小值点() A1个 B2个 C3个 D4个,【解析】导函数f(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个. 【答案】A,4(2012陕西高考)设函数f(x)xex，则() Ax1为f(x)的极大值点 Bx1为f(x)的极小值点 Cx1为f(x)的极大值点 Dx1为f(x)的极小值点,【解析】f(x)xex， f(x)exxexex(1x) 当f(x)0时， 即ex(1x)0，即x1， x1时函数yf(x)为增函数 同理可求，x1时函数f(x)为减函数 x1时，函数f(x)取得极小值 【答案】D,(2012课标全国卷)设函数f(x)exax2. (1)求f

5、(x)的单调区间； (2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值 【思路点拨】(1)分a0和a0两种情况解不等式f(x)0与f(x)0. (2)分离参数k，转化为恒成立问题求解,【尝试解答】(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa. 若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增 若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0. 所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增,由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点，故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1，

6、2) 当x(0，)时，g(x)0. 所以g(x)在(0，)上的最小值为g() 又由g()0，可得e2， 所以g()1(2，3) 由于式等价于kg()， 故整数k的最大值为2.,1解答本题(2)时，关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题 2(1)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对x(a，b)，都有f(x)0(f(x)0)，且f(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零 (2)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，要注意“”是否可以取到,(2)若f(x)为R上的单调函数， 则f(x)在R上不变号

7、结合式，及a0， 得ax22ax10在R上恒成立 所以二次方程1ax22ax0无解或有两个相同实数解， 4a24a0，即0a1.又a0. 故实数a的取值范围是(0，1,1可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同特别注意，导数为零的点不一定是极值点 2若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值 3本题第(2)问求解的关键是转化，函数与方程，方程与不等式相互转化,(2013韶关模拟)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR) (1)要使f(x)在(0，2)上单调递增，试求a的

8、取值范围； (2)当a0时，若函数满足y极大1，y极小3，试求yf(x)的解析式 【解】(1)f(x)3x22ax. 依题f(x)0在(0，2)上恒成立即2ax3x2. x0，2a3x， 2a6，a3.即a的取值范围是3，),(2012北京高考)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx. (1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值； (2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间，并求其在区间(，1上的最大值 【审题视点】(1)求出两条切线方程比较系数求解 (2)讨论极值点与区间(，1的关系，从而确定最大值,a0时，h(x)与h(x

9、)的变化情况如下：,1本题(2)中区间确定，但函数解析式不确定，因此应讨论每个极值点与区间的关系，求解时可画出每一类情况的大致图象，数形结合求解 2求函数f(x)在a，b上的最值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,若k0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下： 所以f(x)的单调递增区间是(，k)和(k，)，单调递减区间是(k，k),若k0，当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下： 所以f(x)的单调递减区间是(，k)和(k，)，单调递增区间是(k，k),

10、函数最值是个“整体”概念，而函数极值是个“局部”概念 1.f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件 2对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件,1.求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则； 2f(x0)0时，x0不一定是极值点； 3求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论,从近两年高考试题看，导数的应用是考查的热点，重点是利用导数研究函数的单调性，求极(最)值，题型全面，小题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，大题考查导数与函数单调性、极值与最值的关系，多与方程、一元二次不等式等知识交汇，体现转化思想、分类讨论思想的应用，同时应注意与导数有关的创新题,创新探究之二导数在比较大小中的创新应用 (2012浙江高考)设a0，b0，e是自然对数的底数() A若ea2aeb3b，则ab B若ea2aeb3b，则ab D若ea2aeb3b，则ab,【解析】设f(x)ex2x，则f(x)ex20， 从而f(x)在R上是增函数， 若ea2aeb3b， 则(ea2a)(eb2b)b0， f(a)f(b)0，ab， 设g(x)ex2x， 则g(x)ex2， f(x)在R上不是单调函数， 从而无法确定a与b的大小关系 【答案】A,创新点拨：(1)背景创新，已知等