《电磁场与电磁波》第1章课件资料.ppt

1、电磁场与电磁波,2015.9,电磁理论的发展历程,1820年，奥斯特发现电流的磁效应，随后安培得出安培力定律；,1831年，法拉第发现电磁感应定律；,1845年，法拉第引入“场”的概念；,1864年，麦克斯韦以“麦克斯韦方程组”建立了系统的电磁理论,1887年，赫兹用实验证实电磁波的存在及其光的特性,1895年，波波夫和马可尼实现了无线通信。,电磁场理论知识结构,第 一 章,矢量分析,基 本 要 求, 深刻理解标量场和矢量场的概念；, 深刻理解散度、旋度和梯度的物理意义并熟练计算这三个度；, 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算；, 了解亥姆霍兹定理的内容,重 点 要 求,在

2、直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。,又称数学场论; 是研究各种类型场运动规律的数学工具; 它的数学公式与场的物理概念紧密相关; 把各种物理的场在数学上抽象成矢量场和标量场来研究。,矢量运算,矢 量 分 析,矢量加法,矢量乘法,矢量微积分,1.1 矢 量 场 和 标 量 场,场的重要属性：占有一个空间，且在该区域中，除开有限个点和某些表面外，场量是处处连续、可微的。,一. 什 么 是 场,如果在我们讨论的空间中的每一点都对应着某 个物理量（场量）的一个确定的值，就说在这个空 间里确定了该物理量的一个场。,在数学上，任何一个可以表示成

3、空间和时间函 数的量都可以称为场。,二. 场 的 分 类,动态场：场量与时间有关 （时变场） f ( x, y, z, t ) A( x, y, z ,t ),标量场：场量是标量 如：温度场T(x,y,z)、密度场(x,y,z),静态场：场量与时间无关 （恒定场） f ( x, y, z ) A( x, y, z),矢量场：场量是矢量,如：速度场v(x,y,z)、力场F(x,y,z),2. 图示法：,u(x,y,z)： 等值面、等值线,u(x,y,z)=c1,u(x,y,z)=c2,u(x,y,z)=c3,A(x,y,z)：矢线 切向场量的方向，疏密程度场量的大小。,三. 场 的 表 示 方

4、法,1.数学法：,f = f ( x, y, z ),F(x,y,z)=exFx(x,y,z)+eyFy(x,y,z)+ezFz(x,y,z),手写体：,标量场,矢量场,复习：矢量的代数运算,1. 矢量加法：, 定义：按平行四边形或三角形法则相加, 运算法则：,a. A + B = B + A,b. A + B + C = ( A + B ) + C = A+( B + C ),c. A B = A + ( -B ),d. 若 A=ex Ax(x,y,z) + ey Ay(x,y,z) + ez Az(x,y,z) B= ex Bx(x,y,z) + ey By(x,y,z) + ez Bz(

5、x,y,z) 则 AB =ex (AxBy) +ey(AyBy )+ ez(AzBz) A=ex ( Ax) + ey ( Ay ) + ez ( Az ),2. 两个矢量的标量积（点积，点乘）： 结果是标量, 定义：A B = A B cos 其中为A 、 B间的夹角, 运算法则：,A B = B A ( A+ B ) C = A C + B C,b. A A = A 2,直角坐标中， A A = Ax2 + Ay2 + Az2,A 在 B 方向上的投影,c. 正交系中 ei ej =,1 i = j 0 i j,直角系中 A B = AxBx + AyBy +AzBz,A B = 0 A

6、B （可作为两矢量相互垂直的判据）,3. 两个矢量的矢量积（叉积、叉乘）： 结果是矢量, 定义：C = A B 模值 C = A B =A B sin 方向 CA, CB 且 A ,B,C成右手螺旋关系, 运算法则：,AB = -BA A(B+C)=AB+AC,b. A A = 0,c. 正交系中 ei ej =,1 i j 0 i = j,直角系中 AB = ex(AyBz AzBy)+ey(AzBx-AxBz)+ez( AxBy- AyBx),d. A B = 0 A B （可作为两矢量相互平行的判据）,4. 三个矢量的混合积：,AB C,由行列式交换法则可得： (AB)C = (BC)

7、A =(CA)B =-(BA)C = -(CB) A =- (AC)B,物理意义： 以 A、B 、C为邻边的平行六面体的体积,1.2 正 交 坐 标 系,正 交 坐 标 系 简 介,常用的正交坐标系有3种：,直角 圆柱 球,一. 直角坐标系,单位矢量,任意矢量A在直角坐标系下的表达式,直角坐标系中,体积元,面积元,长度元矢量,直角坐标系中,A矢量：,B矢量：,（圆柱坐标系及 球坐标系下相应知识）类似,二. 圆 柱 坐 标 系,P ( , , z ), P到z轴垂直距离 与+x轴的夹角 z ,叉乘关系： (e)( e )(ez),2. 点乘关系：,3. 换算关系：,注意： ex 、 ey 、ez

8、是常矢量，模值为1，方向不变。 e、 e 模值为1，但方向随 变化，是 的函数，是变矢。,4. 位置矢量r ： （从原点指向某点）,直角：r = ex x + ey y + ezz,圆柱：r = e + ezz,5.线元矢量: （位移矢量）,6. 面元矢量：,方向的定义： 开表面与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系,闭合面外法线方向,例如直角系中：dS = ex dSx + eydSy + ezdSz,其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分别是dS在yOz面，xOz面和xOy面上的投影,7. 体积元：,直角系中,圆柱系中,dV=dx dy dz,dV= d d dz,圆

9、柱系中： dS = e dS+ edS + ezdSz,dS= d dz， dS =ddz，dSz=dd,二球坐标系,e,z,x,y,er,e,O,r,P,P ( r， ),r P到球心距离,叉乘关系： (er)(e )(e ), 0 r与+z轴的夹角, r在xOy面上的 投影（）与 +x 轴的夹角,1 i = j 0 i j,ei ej =,2. 点乘关系：,3. 换算关系：,z,x,er,e,O,r,P,y,e,z,x,er,e,O,r,P,y,e,注意： er (，）、 e (，） 、e (）均不是常矢量,z,x,er,e,O,r,P,y,e,4. 位置矢量： r = e r r,5.

10、线元矢量:,6. 矢量面元：,dS = er dSr+ edS + edS,dS =rsinddr,7. 体积元：,dV = r2 sin drd d,dSr=r2sind d,dS=rd dr,直角坐标与 圆柱坐标系,圆柱坐标与 球坐标系,直角坐标与 球坐标系,o,q,r,z,单位圆,柱坐标系与球坐标系之间 坐标单位矢量的关系,q,q,o,f,x,y,单位圆,直角坐标系与柱坐标系之间,坐标单位矢量的关系,f,四.坐标单位矢量之间的关系,1.3 标量场的梯度,一. 方向导数, 定义：, 标量场 u ( r ) 在l方向上的变化率,在直角坐标系中，dl dx、dy、dz，全微分：,则 u（r）在

11、dl方向上的方向导数为, u 沿x方向的变化率,例如：,在直角坐标系中,在圆柱坐标系中,在球坐标系中,二标量场的梯度,三梯度的性质,1. 一个标量场的梯度构成一个矢量场。u 矢量,2. 在空间任何一点，梯度的方向总是与过该点的 等值面相垂直，即梯度的方向与等值面的法线方 向是一致的。,3. 在空间任何一点，梯度的模都等于标量场在 该点的方向导数可能取得的最大值。,证：,其中为u与dl之间的夹角,最大,即,当 = 0时，,4. 在空间任何一点，梯度的方向都指向标量场 场量增加的方向。,5. 一个单值标量场梯度的线积分仅与曲线的起止点 有关，而与曲线的形状无关。即一个单值标量场 的梯度是一个保守的

12、矢量场。,证：,得,若P1、P2重合，则,由,6. 运算法则：,(uv) = (vu) = vu + uv,（f A）= Af + f A,（f A）= f A + f A, u = 0,( u + v ) = ( v + u ) = u + v,四. 梯度的物理意义,在空间任何一点，标量场梯度的方向是该 点标量场场量增加最快的方向；它的模是由该 点向各个不同方向移动时场量可能有的最大增 加率。,标量场的梯度是标量场的场量空间变化率。,例1.3.1 已知 R=ex(x-x)+ey(y-y)+ez(z-z),求证：,证：,同理可得：,(3)设有标量场，求证：以(x,y,z)为动点的梯度 f（R）

13、与以（x，y，z）为动点时的梯度f（R） 之间有如下关系：,f（R）= - f（R）,其中：,同理,证明：,1.4 矢量场的通量和散度,散度定理,一. 矢量场的矢量线,1. 矢量线的定义:,形象的描述矢量在空间分布的有向曲线,静电场中的电场线,磁场中的磁场线,例如：,2. 矢量线的特点:,在矢量线上任意一点的切线方向都与该点的场矢量方向相同,3. 矢量线的微分方程:,（1）定义式：,：矢量切线方向上的微分矢量,物理意义： 与 夹角为零。 即，二者方向相同,（2）在直角坐标系下的形式,例1.4.1,已知：点电荷位于坐标原点，任意场点的（x,y,z）处的电场强度，,其中 为介电常数，位置矢量： 求

14、： 的矢量线,解：,代入方程组 得,即,解方程组得,一. 矢量场的通量,1. 通量的定义:,(1)矢量场A穿过面元dS的通量：,(2)矢量场A穿过开表面S的通量：,(3)矢量场A穿过闭合面S的通量：,2. 通量的物理意义：,以流体为例，若,每秒有净流量流出，包面内有正源,每秒有净流量流入，包面内有负源,每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等,二. 矢量场的散度,1. 散度的定义:,2. 散度的数学计算式:,式中,定义为矢量微分算子，也叫汉密顿算符。,圆柱系中：,球系中：,3. 矢量场散度的性质：,a. 一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。,b. 矢量场的散度反映了矢

15、量场在空间各点的净通量状态,有散场 有散场 无散场,c. 散度具有通量体密度的量纲。,d.,三. 散度定理（高斯定理）,定理内容：设在空间有一闭合曲面S，它所包围的空 间体积为V，如果矢量场A在S和V上都是连续可导的，则,表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量 场在曲面内的通量源之间的关系。,1.5 矢量场的环量和旋度,斯托克斯定理,一. 矢量场的环量（环流）,1. 矢量场做功：,2. 环流的定义：,直角系中,圆柱系中,球系中,3 环量的物理意义：,表明c包围涡旋源,表明c不包含涡旋源,水流沿平行于水管轴线方向流动 =0，无涡旋运动,流体做涡旋运动 0，有产生涡旋的源,例：流速场,二. 矢量

16、场的旋度,1. 旋度的定义：,对M点，仿照散度的定义，取,（环流面密度）,显然，上面的算式与积分路径的选取有关,定义：,其中n是最大环流密度所在环路的单位法线方向,(rotation),柱坐标：,2. 旋度的数学计算式：,直角坐标：,球坐标：,求A= exx2 + eyy2 + ezz2 沿着 xy面上的一个闭合回路c的线积 分。如图所示，再计算A。,解： 回路c在xOy面上，dz = 0,= 0,例1.6,讨论： A = ex x2 + ey y2 + ez z2 = er r2是辐射状的场， 必定是无旋的。,A= exx2 + eyy2 + ezz2,3. 旋度的性质：,a. 一个矢量场的

17、旋度构成一个新的矢量场。,b. 分类：有旋场、无旋场,c. 旋度具有环流面密度的量纲。,d. ( A + B ) = A + B, ( A ) = 0,说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即 若B=0 ，则一定对应着一个矢量场A，使B=A。,三. 斯托克斯（stockes)定理,1.6 无旋场和无散场,1、定义：一个矢量场 ，对任意闭合路径都有,无旋场对应着一个标量场u,则称其为无旋场,一、无旋场,2、恒等式：梯度的旋度恒为零,证明：,1、定义：一个矢量场F，对任意闭合面都有,则称其为无散场,无散场对应着一个矢量场A-,二、无散场,2、恒等式：旋度的散度恒为零,证明：,=0,1.8亥姆霍兹定理,源是场的因，场同源一起出现。,若F=0，则F0散度源（通量源）,若F=0 ，则F0旋度源（涡旋源）,例：判断矢量场的性质,0,0,0,0,0,0,一、场与源的关系,二、亥姆霍兹定理的基本内容,一个矢量场只可能有两种源旋度源和散 度源，此外，再无其它类型的源。若在给定边界空间中，一个矢量场的旋度和散度都给