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文档简介

1、2.2.4 无穷小与无穷大,A.无穷小,定义,无穷小的分析定义,自变量 x的变化趋势是其它情形的无穷小分析定义同学可以 模仿写出。,例如,注意:,(2) 无穷小是变量, 不能与绝对值很小的数混淆.,(3) 零是可以作为无穷小的唯一的常数.(为什么？),一个函数是否为无穷小与自变量的趋限过程 有关.,无穷小与函数极限的关系:,证: 必要性,充分性,意义:,(1) 将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,上述定理被称为极限基本定理。,B. 无穷大(量),定义 设函数f(x)在点x0的某去心领域内有定义, 如果对任意的正数M, 总存在正数, 当0M 成立,则称函数f(x)是xx0时的无穷大(量

2、),定义中将 |f(x)|M 改为f(x)M (或f(x)M),在自变量x某趋限过程中, 若|f(x)|无限增大,就称 f(x)为此变化过程中的无穷大。,则称f(x)是xx0时的正无穷大 (或负无穷大), 记作:,注意:,(1) 无穷大是变量, 不能与绝对值很大的数混淆.,(3) 无穷大是一种特殊的无界变量, 但是无界变量未必是无穷大.,不是无穷大,无界,例.,分析:,证明：,当|X|1时，,类似单侧极限, 也定义:,并有下面的结论:,定理9. 在x的某趋限过程中,性质1 在x的某趋限过程中, 若函数f(x)是无穷大, 函数g(x)是有界量, 则f(x)+g(x)是无穷大。,性质2 在x的某趋限过程中, 若函数f(x)是无穷大, 函数g(x)满足 |g(x)|M(M是一正常数), 则f(x)g(x) 是无穷大。,推论 在x的某趋限过程中, 若函数f(x)和g(x)都是无穷大, 则f(x)g(x)是无穷大。,若x0为有限常数,注意:,例如, 当x时, x是无穷大, sinx是有界量, 但 xsinx不是无穷大, (x). 无穷大与无穷大之和不是无穷大的举例学生完成.,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.,(

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