2017_18学年高中数学第三章3.3.1函数的单调性与导数课件.pptx

1、3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数,主题1函数的单调性与导数的关系 1.如图1表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t) =-4.9t2+6.5t+10的图象,图2表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)= h(t)=-9.8t+6.5的图象.,(1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增 加而增加,即t(0,a)时,h(t)是单调_. 此时,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50. (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增 加而减少,即t(a,b)时,h(t)是单调_. 相应地,v(t)=h(t)=-9.8t+6.50.,递增,递减,

2、2.观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系, (1)观察图象,完成下列填空.,图中的函数y=x的导函数y=_,此函数的单调递增 区间为_; 图中的函数y=x2的导函数y=_,此函数的单调递 增区间为_,单调递减区间为_. 图中的函数y=x3的导函数y=_,此函数的单调递 增区间为_;,1,(-,+),2x,(0,+),(-,0),3x2,(-,+),图中的函数y= 的导函数y=_,此函数的单调 递减区间为_.,(-,0),(0,+),(2)根据(1)中的导函数与单调区间之间的关系,思考函数的单调性与导函数的正、负有什么关系? 提示:根据(1)中的结果可以看出,函数的单调区间与导

3、函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,此时对应的函数为增函数,当导函数在某区间上小于0时,此时对应的函数为减函数.,3.观察下图,请完成下表:,减,正,正,0,0,结论:在区间(a,b)内函数的单调性与导数的关系,增,减,主题2函数变化的快慢与导数的关系 1.在同一坐标系中画出函数y=2x,y=3x,y= ,y=x2, y=x3的图象.,提示:这几个函数的图象如图所示.,2.观察以上函数的图象,当x0时,函数增长的快慢与各函数的导数值的大小作对比,你发现了什么? 提示:增长速度快的,导函数值大,增长速度慢的,导函数值小.,结论:函数变化的快慢与导数间的关系 一般地,如果一个函数在某一范围

4、内导数的_ _,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象 就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就 “平缓”.,绝对值较,大,大,小,大,小,【微思考】 1.回忆函数单调性的常规定义,分析用导数研究函数的单调性与常规定义的联系?,提示:增函数时有 0也即 0,对式子 求极限,若极限值大于0,则导数大于0,从而为增函数. 减函数时有 0也即 0,对式子 求极 限,若极限值小于0,则导数小于0,从而为减函数.,2.在区间(a,b)上,如果f(x)0,则f(x)在该区间上单调递增,但反过来也成立吗? 提示:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上为增函数,但f(0)=0,即f(x)0是f

5、(x)在该区间上单调递增的充分不必要条件.,3.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,那么如何表示这些区间?函数的单调区间与其定义域满足什么关系? 提示:不能用“”连接,只能用“,”或“和”字隔开,函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的,故单调区间是定义域的子集.,【预习自测】 1.函数f(x)=x+lnx在(0,6)上是() A.单调增函数 B.单调减函数 C.在 上是减函数,在 上是增函数 D.在 上是增函数,在 上是减函数,【解析】选A.因为x(0,6),所以f(x)=1+ 0,故函 数在(0,6)上单调递增.,2.f(x)在(a,b)内可导,若f(x)0,则f(x)在(

6、a,b)内是() A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数 【解析】选B.易知导函数f(x)0,f(x)单调递减.,3.函数y=2-3x2在区间(-1,1)上的增减性为() A.增函数B.减函数 C.先增后减D.先减后增 【解析】选C.y=-6x,故当x(-1,0)时,y0;当x(0,1)时,y0,所以原函数在区间(-1,1)上先增后减.,4.已知函数y=xf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数),下列四个图象中为y=f(x)的大致图象的是(),【解析】选C.由题图知:当x0,函数y=f(x)单调递增; 当-10,所以f(x)0,函数y=f(x)单调递减; 当0x1时,xf

7、(x)0,所以f(x)0,函数y=f(x)单调递减;,当x1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数y=f(x)单调递增.,5.函数y=x-lnx的单调递减区间是_. 【解析】定义域是(0,+),由y=1- 0及定义域得 0x1,单调递减区间是(0,1). 答案:(0,1),6.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=2x(ex-1)-x2. (2)f(x)=x-x2+lnx.,【解析】(1)f(x)=2(ex-1+xex-x)=2(ex-1)(x+1). 当x(-,-1)时,f(x)0; 当x(-1,0)时,f(x)0.故f(x)在(-,-1),(0,+)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.

8、,(2)函数的定义域为(0,+), f(x)=1-2x+ 令f(x)0,解得01, 所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.,类型一函数单调区间的判断及求解 【典例1】(1)(2015陕西高考)设f(x)=x-sinx,则 f(x)() A.既是奇函数又是减函数B.既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数D.是没有零点的奇函数,(2)求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.,【解题指南】(1)利用奇偶性的定义判断f(x)=x-sinx的奇偶性,利用导数判断其单调性. (2)先求导,令导函数值大于0,得到增区间,令导函数值小于0,得到减区间.,【解析】(1)选B.因为f

9、(-x)=-x-sin(-x)=-(x-sinx)= -f(x),所以f(x)为奇函数.又f(x)=1-cosx0,所以 f(x)单调递增,选B. (2)f(x)=3x2-2lnx的定义域为(0,+), 则f(x)=6x- 由f(x)0得6x2-20,即x2 ,则x 或x0,所以0x , 所以递减区间为,【方法总结】利用导数研究函数单调性的一般步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求导函数f(x). (3)若求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0.,【巩固训练】求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x-x3.(2)f(x)=x2-lnx.,【解

10、析】(1)f(x)=1-3x2, 令1-3x20,解得- . 因此,函数f(x)的单调减区间为,(2)函数f(x)的定义域为(0,+). f(x)=2x- 因为x0,所以 x+10,由f(x)0,解得x , 所以函数f(x)的单调递增区间为 由f(x)0,解得x ,又x(0,+), 所以函数f(x)的单调递减区间为,【补偿训练】求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3+ . (2)y=xex.,【解析】(1)f(x)=3x2- 由f(x)0,解得x1; 由f(x)0,解得-1x1,且x0. 所以函数的单调递增区间为(-,-1),(1,+); 单调递减区间为(-1,0),(0,1).,(2)

11、y=ex+xex=ex(1+x). 令y0,得x-1; 令y0,得x-1. 因此,y=xex的单调递增区间为(-1,+), 单调递减区间为(-,-1).,类型二原函数与导函数图象间的关系 【典例2】(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象的大致形状是(),(2)函数y=f(x)在定义域 内可导,其图象如图,记 y=f(x)的导函数为y=f(x),则不等式f(x)0的解集 为_.,【解题指南】(1)利用函数的单调性判断导数的符号,利用导数的符号判断导函数图象的位置(在x轴上方还是下方). (2)当函数单调递减时f(x)0,所以只要找出函数的单调递减区间即可.,【解析】(1

12、)选D.根据图象可知,函数f(x)先单调递减,后单调递增,后为常数,因此f(x)对应的变化规律为先负,后正,后为零.,(2)函数y=f(x)在区间 和区间(2,3)上单调递减,所以在区间 和区间(2,3)上,y=f(x)0, 所以f(x)0的解集为 (2,3). 答案: (2,3),【延伸探究】1.若本例(2)中的条件不变,试求不等式 f(x)0的解集. 【解析】根据题目中的图象,函数y=f(x)在区间 和区间(1,2)上函数为增函数,所以在区间 和 区间(1,2)上,y=f(x)0, 所以f(x)0的解集为 (1,2).,2.若本例(2)中的条件不变,试求不等式xf(x)0的解集. 【解析】

13、由典例(2)及延伸探究1以及已知条件可知, 当x 时,函数为减函数,则f(x)0. 综上可知:xf(x)0的解集为 (1,2).,【方法总结】判断函数与导数图象间对应关系的两个关键 第一:要弄清所给图象是原函数的图象还是导函数的图象. 第二:注意以下两个方面:,(1)函数的单调性与其导函数的正、负的关系:在某个区间(a,b)内,若f(x)0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f(x)0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.,(2)导数与函数图象的关系: 函数值增加得越来越快, 函数值增加得越来越慢, f(x)0且越来越大. f

14、(x)0且越来越小.,函数值减小得越来越快,函数值减小得越来越慢, f(x)0且越来越小, f(x)0且越来越大, 绝对值越来越大.绝对值越来越小.,【补偿训练】函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f(x)的图象可能是(),【解析】选D.从原函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-,0)上是减函数,f(x)0;在区间(x1,x2)上是减函数,f(x)0.结合选项可知,只有D项满足.,类型三利用函数的单调性求参数的范围 【典例3】(1)若f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,求a的取值范围. (2)(2017广州高二检测)设函数f(x)=x2+ax-lnx,a R,若f(x)在区

15、间(0,1上是减函数,求实数a的取值范围.,【解题指南】(1)由f(x)=ax3+x在区间-1,1上单调递增,可得出利用不等式f(x)0在-1,1上恒成立,确定a的取值范围. (2)把f(x)在区间(0,1上是减函数,转化为f(x)0对任意x(0,1恒成立.,【解析】(1)f(x)=3ax2+1,因为f(x)在区间-1,1上 单调递增,所以f(x)=3ax2+10在-1,1上恒成立. 当x=0时,显然成立,当x0时,a- .因为- 在 x-1,0)(0,1的最大值为- ,所以a- . 故a的取值范围是,(2)f(x)=2x+a- . 因为f(x)在区间(0,1上是减函数, 所以f(x)0对任意

16、x(0,1恒成立, 即2x+a- 0对任意x(0,1恒成立, 所以a -2x对任意x(0,1恒成立.,令g(x)= -2x,所以ag(x)min,易知g(x)在(0,1上单 调递减,所以g(x)min=g(1)=-1,所以a-1.,【延伸探究】在本例(1)中f(x)=ax3+x在区间-1,1上能否单调递减?,【解析】假设能单调递减,f(x)=3ax2+1,因为f(x)在 区间-1,1上单调递减,所以f(x)=3ax2+10在-1, 1上恒成立.当x=0时,显然不成立,当x0时,a- . 因为- 在x-1,0)(0,1上不存在最小值,所以 满足条件的a值不存在.所以f(x)=ax3+x在区间-1,1 上不能单调递减.,【方法总结】已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f(x)0(或f(x)0),x(a,b)恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.,【巩固训练】已知函数f(x)=(ax2+bx+c)ex在0,1上单调递减且满足f(0)=1,f(1)