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文档简介

1、1 反常积分概念,一、反常积分的背景,反常积分讨论的是无穷区间上的积,分和无界函数的积分，是定积分概念,的推广.,二、两类反常积分的定义,返回,一、反常积分的背景,在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间,但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间,例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火,的有穷性; 被积函数的有界性.,上的“积分”或无界函数的“积分”.,箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初,速度 v0 至少要多大？,解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重,处火箭所受的引力为,于是火箭从地面上升到距地心为 处需作功,时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地,由机械能

2、守恒定律可求初速度 至少应使,球需作的功于是自然把这一极限写作上限为,例2 圆柱形桶的内壁高为 h,内半径为 R,桶底有,在时间d t内,桶中液面降低的微小量为d x,它们,一半径为 r 的小孔试问从盛满水开始打开小孔,直至流完桶中的水,共需多少时间？,于是流完一桶水所需时间为,但由于被积函数是 上的无界函数,所以它的,确切含义为,二、两类反常积分的定义,区间 a, u 上可积. 若存在极限,则称此极限 J 为函数 f 在 上的无穷限反,常积分(简称无穷积分),记作,类似定义,域内无界, 但在任何内闭区间 u, b 上有界且可积.,如果存在极限,定义2 设函数 f 定义在 (a, b 上, 在 a 的任意右邻,则称此极限为无界函数 f 在 (a, b 上的反常积分,类似定义瑕点为 b 时的瑕积分,通常称a 为 f 的瑕点.,记作,其中 f 在 a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,若 f 的瑕点 , 定义,在任何 上可积.,例1 讨论无穷积分,解,无穷积分的牛顿莱布尼,若 f (x) 的原函数为 F (x),解,例2 讨论无穷积分,因此,茨公式写作,解,同样, 若 f (x) 的原函数为 F (x), 瑕积

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