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1、一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,11.1 常数项级数的概念和性质,上页,下页,铃,结束,返回,首页,给定一个数列 u1, u2, u3, , un, , 则由这数列构成的表达式 u1u2u3 un ,一、常数项级数的概念,常数项级数,其中第n项un叫做级数的一般项.,下页,一、常数项级数的概念,常数项级数,称为级数, 其中第n项un叫做级数的一般项.,表达式,级数的部分和,级数的前n项的和,下页,级数举例,调和级数,几何级数,等比级数,aqn-1,p级数,下页,级数敛散性定义,下页,级数敛散性定义,如果级数的部分和数列有极限, 则称级数收敛; 如果级数的部分和数列没有极限, 则称
2、级数发散.,余项,rnssnun1un2 ,下页,如果q1, 则部分和,解,当|q|=1时, 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,例1,下页,例2 证明级数 123 n 是发散的.,此级数的部分和为,证,下页,因为,解,提示:,例3,首页,解:,所以级数 发散 ;,技巧:,利用 “拆项相消” 求和,判别级数,的敛散性 .,判别级数,的敛散性 .,解:,故原级数收敛 , 其和为,二、收敛级数的基本性质,性质1,下页,二、收敛级数的基本性质,sn、sn、tn, 则,性质1,性质2,下页,二、收敛级数的基本性质,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.,性质1,性质2,下
3、页,二、收敛级数的基本性质,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,应注意的问题: 如果加括号后所成的级数收敛, 则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如, 级数(11)+(11) + 收敛, 但级数1-11-1 却是发散的.,性质1,性质2,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.,下页,判断级数的敛散性:,解: 考虑加括号后的级数,发散 ,从而原级数发散 .,二、收敛级数的基本性质,推论 如果加括号后所成的级数发散, 则原来级数也发散.,性质1,性质2,性质4 如果级数收敛, 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛, 且其和不变.,性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项, 不会改变级数的收敛性.,下页,级数收敛的必要条件,证,注意: (1)级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件, 不能因为一般项趋于零就断定级数收敛. (2)如果一般项不趋于零, 则级数必发散. 因此此性质常用于判断级数发散.,性质5,下页,级数收敛的必要条件,证,但另一方面,性质5,结束,判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:,解: (1) 令,则,故,从而,这说明级
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