第3章 点线面的投影.ppt

1、3.1投影法和投影 3.2点的投影 3.3直线的投影 3.4点与直线、直线与直线的相对位置 3.5平面的投影 3.6直线与平面、平面与平面的相对位置 3.7换面法,返回首页,第三章,点、直线、平面的投影,投影方法,中心投影法,平行投影法,直角投影法（正投影法）,斜角投影法,31投影法和投影体系,投射中心、物体、投影面三者之间的相对距离对投影的大小有影响。,度量性较差!,物体,投影特性:,投影面,投影,投影线,投影中心,物体位置改变，投影大小也改变,中心投影法,投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好!,工程图样一般都采用正投影法绘制。,投影特性,直角（正）投影法,斜角投影法,平行投影

2、法,采用多面投影。,过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影a。,a,点在一个投影面上的投影 不能确定点的空间位置。,32点的投影,一、点在一个投影面上的投影,正面投影面（简称正 面或V面）,水平投影面（简称水 平面或H面）,侧面投影面（简称侧 面或W面）,OX轴V面与H面的交线,OZ轴V面与W面的交线,OY轴H面与W面的交线,投影面,投影轴,三个投影面互相垂直,二、点的三面投影,空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。,空间点A在三个投影面上的投影,X,Y,Z,O,V,H,W,A,a,a,a,绕Z轴旋转90度,绕X轴旋转90度,不动,投影面展开,X,Y,Z,O,V,H,

3、W,A,a,a,a,aaOX轴,aax=aaz=y=点A到面的距离,aax=aay=z=点A到面的距离,aay=aaz=x=点A到面的距离,aaOZ轴,点的投影规律:,a,a,ax,az,解法一:,通过作45线使aaz=aax,解法二:,用圆规直接量取aaz=aax,用圆规 画弧,解法三:,例：已知点的两个投影，求第三投影。,两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。,判断方法：,x坐标大的在左,y坐标大的在前,z坐标大的在上,b,a,a,a,b,b,B点在A点之前、之右、之下。,X,YH,YW,Z,三、两点的相对位置,空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面

4、的重影点。,A、C为H面的重影点,a,a,c,被挡住的投影加( ),( ),A、C为哪个投影面的重影点呢？,a c,重影点：,两点确定一条直线，将直线两端点的同名投影用直线连接，就得到直线的同名投影。,直线对一个投影面的投影特性,一、直线的投影特性,直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性,直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB,直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=ABcos,33直线的投影,投影面平行线,投影面垂直线,正平线（平行于面）,侧平线（平行于面）,水平线（平行于面）,正垂线（垂直于面）,侧垂线（垂直于面）,铅垂线（垂直于面）,一般位置直线,统称特殊位置直线,直线在三个

5、投影面中的投影特性,1在其平行的那个投影面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投影面倾角的实大。,2另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。,水平线,侧平线,正平线,投影特性：,与H面的夹角: 与V面的夹角: 与W面的夹角:,实长,实长,实长,投影面平行线,铅垂线,正垂线,侧垂线,2、另外两个投影，反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。,1、在其垂直的投影面上，,投影有积聚性。,投影特性:,投影面垂直线,投影特性：,三个投影都缩短。即:都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大，且与三根投影轴都倾斜。,一般位置直线,一般位置直线的实长及与投影面的角度,直角三角形法,实长,实长,注意：2直角

6、边与夹角的关系 ab、z ab、 y,若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例。即：,若点的投影有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。,一、点在直线上的判别方法：,AC/CB=ac/cb=ac/cb,A,B,C,V,H,b,c,c,b,a,a,定比定理,3.3点与直线、直线与直线相对位置,点C不在直线AB上,点C在直线AB上,例1：判断点C是否在线段AB上。,a,b,因k不在ab上， 故点K不在AB上。,应用定比定理,a,b,k,a,b,k,另一判断法?,因为ak/kbak/kb 所以K不在AB上,例2：判断点K是否在线段AB上。,空间

7、两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉。,两直线平行,空间两直线平行，则其同名投影必相互平行，且其投影长度之比等于其实长之比，反之亦然。即： AB:CD=ab:cd=ab:cd,投影特性：,二、两直线的相对位置,a,b,c,d,c,a,b,d,对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。,AB/CD,例1：判断图中两条直线是否平行。,b,d,c,a,对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。,求出侧面投影后可知：,AB与CD不平行。,例2：判断图中两条直线是否平行。,判别方法：,若空间两直线相交，则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规

8、律。,交点是两直线的共有点,两直线相交,先作正面投影,例3：过C点作水平线CD与AB相交。,1(2),3(4),同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。,“交点”是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。,、是面的重影点，、是H面的重影点。,为什么？,两直线相交吗？,投影特性：,两直线交叉,当相交两直线在空间互相垂直,若其中一条直线为某投影面的平行线时,则两直线在该投影面上的投影必定反映直角,此投影特性称为直角投影定理. 如图所示，已知ABBC，其中ABH面，BC倾斜于H面。因ABBb，ABBC,则ABBbcC平面;又因abAB,所以abBbcC平面,因此a

9、bbc,即abc=ABC=90 反之,如相交两直线在某一投影面上的投影互相垂直(即为直角),且其中有一直线为该投影面的平行线时,则这两条直线在空间必定互相垂直. 当两直线是交叉垂直(即两直线垂直但不相交)时,也符合上述直角投影定理.,三、直角投影定理,如图(a)所示,因BC为正平线,且abbc,故ABBC. 如图(b)所示,因DE,EF均为一般位置直线,虽然deef,deef,但DE和EF不垂直. 如图(c)所示,因MN为正平线,ghmn,故GH与MN9为交叉垂直的两直线.,例4：试判断下列两直线是否垂直,分析:交叉两直线的公垂线,就是与AB,CD都垂直的直线.由于AB是铅垂线,CD是一般位置

10、直线,所以其公垂线为一水平线,它与CD的垂直关系在H面上反映. 作图：1.由a(b)向cd做垂线lk,交于k,由此求出k; 2.过k作平行线lk, 与ab交于l, 即为公垂线的两面投影,且lk反映公垂线的实长。,例5：求AB,CD两直线的公垂线,o,x,a,b,a,(b),c,d,d,c,k,k,l,l,3.5平面的投影,3.5.1平面的表示方法,三点,直线和点,两平行线,两相交线,平面图形,3.5.2平面的投影特性,1.平面对一个投影面的投影特性,平行,垂直,倾斜,实形性,类似性,积聚性,投影特性,平面平行投影面-投影就把实形现,平面垂直投影面-投影积聚成直线,平面倾斜投影面-投影类似原平面

11、,2.平面在三投影面体系中的投影,平面的分类：,投影面平行面,投影面垂直面,投影面倾斜面一般位置平面,正平面 水平面 侧平面,正垂面 铅垂面 侧垂面,特殊位置平面,（1）投影面平行面,空间及投影分析平行一个投影面，与另外两个投影 面垂直。,投影特征：在所平行的投影面上的投影反映实形，另外两 个投影积聚成直线，且与相应的投影轴平行。,投影反映实形,投影有积聚性,（2）投影面垂直面,空间及投影分析只垂直一个投影面，对另外两个投 影面倾斜。,投影特征：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，它与投 影轴的夹角反映了平面与相应的投影面之间的夹 角；另外两个投影具有类似性。,类似性,类似性,积聚性,投影有积

12、聚性,投影有类似性,（3）一般位置平面,空间及投影分析：,对三个投影面都倾斜，三个投影都不反映实形，也没有积聚性。,投影特征： 三个投影都有类似性,3.5.3平面上的直线和点,1.在平面上取任意直线,例：已知平面由AB,CD所确定， 试在平面上任作一直线。,已知平面的投影， 如何确定平面上 某条直线的投影？,定理1 若一直线过平面上的两 点，则直线在平面内。,定理2 若一直线过平面上的一点 且平行于平面内的一条直 线，则该直线在平面内。,例5：,在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。有多少解？,n,m,n,m,唯一解！,2.平面上取点,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平

13、投影。,面上取点的方法 过点在平面内作一直线，由直线确定点的位置，这样就转化为面上取线的问题。,d,d,例6：,k,b,已知平行四边形对角线AC为正平线， 补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,几何元素线与面，面与面,相对位置平行，相交,一般情况： 若一直线平行于平面上的某一条直线，则该直线 与平面平行。,直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行,3.6 直线与平面、平面与平面相对位置,3.6.1平行问题 1.直线与平面平行,例： 直线MN与平面ABC 平行，求MN的水平投影。,特殊情况： 若一直线平行于投影面垂 直面，则具有积聚性的那个投 影必与直线的同名投影平行。,例1

14、：已知平面P由两平行线确定，试过K点作一直线与平面P平行，同时与H面平行。,a,c,b,m,a,b,c,m,有无数解,有多少解？,例2：过M点作直线MN平行于平面ABC。,正平线,c,b,a,m,a,b,c,m,唯一解,例3：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。,特殊情况： 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有积聚 性的那组投影也平行。,一般情况： 若一平面上的两相交 直线对应地平行另一平面 的两相交直线，则两平面 平行。,2.平面与平面平行,若一直线垂直于一平面，则该直线必垂直于该平面上的所有直线;若一直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线也必垂直于该平面。如图246所示，AE、FC

15、是平面ABCD上的一对相交直线,若MNAE，MNFC，则MNABCD。现用平面上的水平线和正平线作为两条相交直线，则可利用直角投影定理来反映两直线垂直的特性，使该直线分别垂直于平面上的水平线和正平线，从而使该直线垂直于平面。反之亦然。以下举例说明。,平面垂直问题,分析菱形的两条对角线互相垂直且平分,其对边互相平行. 作图 在对角线AC上取中点K，即akkc，akkc， 因AC是正平线，故另一对角线的正面投影必定垂直于ac。过k作ac的垂线，且与am交于b，由kb求出kb图(b)； 延长KB直线，使kdkb，kdkb，连接各点即为所求。也可利用对边平行性质求解点D图(c)。,例7一菱形的一条对角

16、线为一正平线,菱形的一边位于直线上,求该菱形的投影图.,分析将直线垂直平面的问题转化为两直线垂直的问题。 作图 在ABC上作水平线CE，即ce0X，求出ce,使mnce； 在ABC上作正平线AD，即ad0X，求出ad,使mnad,则直线MN即为所求.,例8过已知点M作ABC的垂直线,分析过MN的中点O作一条水平线CDMN，再过点O作一条正平线ABMN,则相交两直线AB、CD确定的平面即为所求的中垂面。 作图图(b) 作出MN的中点O(o,o)； 过O作出水平线CD，使cdOX，cdmn； 过O作出正平线AB，使abOX，abmn，则相交两直线AB与CD所确定的平面即为所求的中垂面。,例9求作直

17、线MN的中垂面,如直线垂直于一平面，则包含该直线的一切平面都垂直于该平面。反之，如两平面垂直，那么从第一平面上的任一点向第二平面作垂线，该线必在第一平面内。 如图所示，因为直线AB垂直于P面，则包含AB的Q面和R面都垂直于P面。如在R面上取一点C向P面作垂线CD，则CD必定在R面内。,2平面与平面垂直,3.6.3相交问题,直线与直线相交 直线与平面相交 平面与平面相交,空间分析： 直线与直线相交交点为两直线的公有点 直线与平面相交交点为直线与平面的公有点 平面与平面相交交线为两平面的公有线,要解决的问题： 如何求出交点或交线？ 几何元素存在相互遮挡问题，如何判断可见性？,1.直线与平面相交,平

18、面为特殊位置时的情况 直线为特殊位置时的情况,我们只讨论直线和 平面二者至少有一个为 特殊位置时的情况。,例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。,a,b,c,m,n,c,n,b,a,m,平面为特殊位置,空间及投影分析,平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。,求交点,判别可见性,由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。,还可通过重影点判别可见性。,1(2),作图,例：,k,mn,b,m,n,c,b,a,a,c,直线为特殊位置,空间及投影分析,直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。,求交点,判别可见性,点位于平面上，在前；点位于