二模订正练习2015-5-7

1、 二模补充订正练习2015-5-71若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所成的角为 2已知圆锥的高和底面半径均为1，若过圆锥两条母线的截面为正三角形，则底面圆心到该截面的距离为 3一个球与一正三棱柱的五个表面都相切，球的表面积为，则该正三棱柱的体积为 4底面半径为3cm，高为4cm的圆锥侧面积为 cm25侧棱长和底面边长都为2的正三棱锥的高为 6. 顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线上有一点，其横坐标是3，到焦点的距离是5，则抛物线的标准方程为 7双曲线的左准线与抛物线的准线重合，离心率为2，则此双曲线的标准方程为 8以椭圆的右焦点为圆心的圆经过原点O，且与该椭圆的右准

2、线交与A，B两点，已知OAB是正三角形，则该椭圆的离心率是 9. 已知，为直线上的一动点，则以为直径的动圆必过除点外的另一定点，该定点坐标为 10已知椭圆的中心，右焦点，右顶点，右准线与轴的交点分别为,则的最大值为 （第16题图）11如图，已知四棱锥的底面是菱形，底面对角线交于点，面，是的中点（1）求证：面；（2）求证：面面；（3）若，求三棱锥的体积12. 如图（1），,分别是边长为2的正方形边,的中点，分别与交于,两点，沿图中虚线折起后得到三棱锥，如图（2）（点重合于点）.（1）求证：；（2）求三棱锥的体积，并求该三棱锥外接球的表面积；（3）上是否存在异于的一点，使面？如果存在，请确定点位置

3、，如果不存在，请说明理由. 第12题图(1) 第12题图(2)13. 有一块边长为40的正六边形铁板，在其六个角沿虚线剪去六个相同的四边形（如图），做成一个无盖的正六棱柱水桶，当水桶的底面边长为何值时，水桶容积最大，最大容积是多少？14已知函数，.（1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，证明是方程的唯一根；（3）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值.15. 已知椭圆短轴上的两个三等分点与两焦点构成一个正方形.（1）求椭圆的离心率；（2）若直线为圆的一条切线，与椭圆交于两点，且（为坐标原点）,求椭圆的方程.19解（1）,，3分令，.4分当时，为增函数；当时，为减函数.5分，

4、.6分（2）当时，.时，是的根.7分令, .8分当时，；当时，.9分时，.是的唯一根. 10分（3）设切点, 得： 11分 切线斜率12分由（1），（2）消去得：，（3）13分观察是（3）的一个根，14分为增函数，是（3）的唯一根，15分代入（2）得.16分【说明】本题考查导数的应用，考查消元法、分类变量法；考查函数思想、方程思想；考查运算能力、观察、分析、探求能力、直觉思维能力.20解：(1)因为短轴上的两个三等分点与两焦点构成一个正方形的对角线相等，所以，3分即,4分 故. 5分(2)设椭圆为，（1）6分 当直线轴时，不妨设：，由对称性不妨设 ，7分代入（1）解得：解得.此时椭圆方程为.8

5、分直线不垂直于轴时，设：，（2）设，把（2）代入（1）得：,(3)9分 12分， ，（7）13分将（5），（6）式带入（7）得：,（8）14分圆与直线相切， =，（9）15分比较（8），（9），解得，满足（4）式. 综上可得：椭圆的方程为.16分【说明】一、本题来源于选修2-1第34页第6题,第66页第16题，类似的抛物线有选修2-1第49页第8题、选修2-1第65页第16题. 本题考查圆锥曲线与直线的位置关系；考查解析思想、数形结合思想、转化化归思想；考查运算能力.二、本题的一般结论是：直线与交于两点，如果满足，则：（1） 直线一定与相切；（2）原点到直线的距离为定值； （3） ；（4）的最

6、大值为 等等，以上实际是等价命题.11已知圆：，过的直线交圆于两点.（1）若为直角三角形，求直线的方程；（2）若圆过点且与圆切于坐标原点，求圆的标准方程.3. 已知，是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列命题：； ； 在上述命题中，所有真命题的序号为 9若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 12. 如图, 一块半径为R的半圆形空地,开发商计划征地建一个矩形游泳池ABCD和其附属设施,附属设施占地形状是等腰CDE,其中O为圆心, A, B在圆的直径上，C,D, E在圆周上. （1）设,征地面积记为,求的表达式;（2）当为何值时,征地面积最大?13.某厂家计划生产一种容积为cm3（

7、为常数）的圆柱形饮料罐，饮料罐的底面半径为cm，高为cm. 罐的上、下底单位面积的造价分别是罐身（侧面）单位面积造价的1.5倍，罐身（侧面）造价为元/cm2（为常数），该饮料罐每个造价为元.（1）将表示为关于的函数；（2）当和满足什么关系式时，该种饮料罐造价最少？14椭圆的焦点在轴上,中心是坐标原点,且与椭圆的离心率相同,长轴长是长轴长的一半. 为上一点, 交于点, 关于轴的对称点为点, 过作的两条互相垂直的动弦,分别交于两点,如图.ABCPQOxy（1）求椭圆的标准方程;（2）求点坐标;（3）求证:三点共线.15已知椭圆方程为，短轴的一个端点为，以为直角顶点作椭圆的内接直角三角形.（1）如果

8、为长轴的一个端点，直角边过椭圆的一个焦点，求椭圆方程；（2）如果,可以作几个这样的等腰直角三角形？6抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为 7命题：“若，则且”的逆命题、否命题、逆否命题以及原命题中真命题的个数有 个9已知抛物线的焦点在轴上，抛物线上点到焦点的距离是，则 10数列中，（），归纳出数列通项公式 12函数的导函数 13已知函数在点处的切线为，则函数在点处的切线的斜率为 19. 解：（1）连接,可得；.4分.8分（2）.10分令 （舍）或者 ,12分当,14分 时,取得最大. 15分 答:时,征地面积最大. 16分【说明】本题考查导数的应用;考查函数思想;考查阅读理解能

9、力和建模能力;考查运算能力以及运用数学解决问题的能力.20解：（1）由椭圆标准方程可得：长轴长是，离心率是.2分椭圆,3分椭圆的标准方程：.4分（2）设,第一象限点,.6分（3）当轴，轴时，., 三点共线. 7分当直线存在斜率时，可设,由.9分得10分 ,11分，12分同理,以替换上式中的，得，14分.15分故，即三点共线 . 综上：三点共线. 16分【说明】本题考查椭圆方程的求法、两直线的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系；考查定点定值问题的处理方法；考查整体思想；考查运算能力.17解：（1）当直线的斜率不存在时显然不合题意，设：,1分 当时，圆心到直线得距离为3，3分解得：或，5分所以，直

10、线方程为：或.7分（2）可知圆和圆相外切，8分 圆的圆心在直线上，9分同时也在直线上，10分 得，12分圆：.14分【说明】本题源于必修2 例2改编. 考察直线与圆、圆与圆的位置关系；考查运算能力和数形结合思想.18解：（1），2分 ，3分 底面积为，侧面积为，7分.8分（2）由 ，10分 解得：，11分 当时，； 当时，；13分. 因此，当即时，取得极小值，且是最小值. 15分答：当时，该种饮料罐造价最小. 16分【说明】本题源于选修1-1例题改编. 考查圆柱表面积、体积公式；考查导数的运用；考查阅读理解能力、数学建模能力、运算能力.19解：（1）由条件可知：， 2分又三角形为直角三角形， ，分 代入：得，.5分椭圆标准方程为.6分（2）由椭圆的对称性，不妨设方程为（），则方程为， 消去得：，7分 又，得 8分 ，9分 同理，10分 由，得=，11分 即： , （*）,得：，或，12分对于式： 10当，即时, 式有两个不相等的不为1的正根，（*）式有三个不相等的正根，此时,可以作三个等腰直角三角形. 13分 20当，即时，式，（*）式有三个相等的正根