控制系统的定性分析

1、线性控制系统的定性分析,内容提要,状态能控性、能观性定义 能控性判据 能观性判据及对偶原理 控制系统的结构分解 能控规范型和能观测规范型 Lyapunov稳定性分析,系统的能控性、能观性定义,能控性和能观性的直观讨论,从物理直观性看， 能控性研究系统内部状态“是否可由输入影响”的问题。如果系统内部每个状态变量都可由输入完全影响，则称系统的状态为完全能控。 能观性研究系统内部状态“是否可由输出反映”的问题。如果系统内部每个状态变量都可由输出完全反映，则称系统的状态为完全能观测。,输入和输出构成系统的外部变量， 状态变量属于反映运动行为的系统内部变量,直观例子,例1. 给定一个系统，,将其表为标量

2、方程组形式有，,可以直观看出，状态x2的变化不受输入u的控制；从输出y的变化不能得到状态变量x1的变化。所以可以说状态x2是“不能控”的，而状态x1是“不能观”的。,例2. 对如图所示的电路，设电容器上的电压x1,x2为状态，控制输入是外加电压u(t)，RC=1/3。,能控性的定义,设线性时不变系统，状态方程为,一个状态的能控性：如果对状态空间中某一非零的有限点x0，可以找到容许控制u(t)，使得当系统以x0为初始状态，即x(t0)=x0时，在u(t)作用下，系统在某个有限时刻t1有x(t1)=0。 系统完全能控：如果空间中任意非零状态都是能控的。 不完全能控：如果状态空间中存在一个非零状态或

3、非空状态集合是不能控的。,一个状态的能达性：如果对状态空间中某一非零的有限点xf，存在有限时刻t1以及容许控制u(t)，使得当x(t0)=0时，在u(t)作用下，系统在t1时刻有x(t1)= xf 。 系统完全能达：如果空间中任意非零状态都是能达的。,注：,不讨论无穷远点和坐标原点的能控性。 能控性重要的是存在输入u可使初始状态经有限时间转移到目标状态。不关心控制作用时间段t0,t1的长短，t1可能不唯一；输入u不唯一；对状态转移运动的轨迹形态也无规定。 容许控制：指控制信号的各分量满足平方可积条件。为了保证系统解的存在且唯一。 能控性与系统输出无关。 如果系统完全能控，则对任意给定的期望状态

4、，从任意初始状态开始都存在控制输入u使得系统在有限时间内到达期望状态。,例3. 设两个电感中流过的电流x1和x2为状态。u(t)为输入电压，系统输出为电阻R上流过的电流y。设L=1,R=1。,若u(t)=0, x1(0)=x2(0)，则y(t)0。 从y(t)中不能得到状态变化的完全信息。所以位于直线x1=x2上的所有状态在输出y中均为“不能观”的。,状态能观性与系统输入无关,对线性时不变系统，初始时刻为0，初始状态为x(0)=x0,得到,在讨论能观性时，输出y和输入u均假定为已知，只有初始状态x0是未知的。,所以在研究能观性时，只需研究零输入系统,可观性即是x0可由 完全估计的性能。等价于u

5、=0时由y来估计x0的可能性！,能观性的定义,一个状态不能观：设x0为状态空间中非零有限点。将x0作为系统初始状态，即x(t0)=x0，若存在有限时刻t1t0使得对任意tt0,t1，有y(t)0。 系统不完全能观：状态空间中存在不能观状态。 系统完全能观：状态空间中所有非零有限状态是能观的。,注： 直观上，不能观状态x0具有这样的属性：输出y(t)对以x0为初始状态导致的运动响应x0u(t)具有“过滤”作用，即x0u(t)不能被完全反映在y(t)中。,系统的能控性判据,格拉姆矩阵判据,定理1. 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是存在t1t0，使格拉姆矩阵 非奇异。,证明： 利用能控性定义

6、（充分性）构造u(t),（必要性）反证法,注：,格拉姆矩阵判据的意义不在于具体判别中的应用，而在于理论分析和推导中的应用。 对完全能控的连续时间线性时不变系统，基于格拉姆矩阵可以给出使任意非零初态在有限时间内转移到原点的控制输入的构造关系式,代数判据,定理2. 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是,（充分性）已知 证明 非奇异。 利用反证法。,（必要性）已知 证明 奇异。,证明： 利用格拉姆判据,例4.,对系统,通过计算得到,容易判定，rankQc=1n， 所以系统不完全能控。,例5.,例6. 利用能控性的代数判据来证明：对状态方程作线性非奇异变换不改变系统的能控性。,特征值判据,定理3（P

7、BH秩判据）. 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值,证明： 利用代数判据,特征值判据的重要推论,推论1.,返回例1，利用该判据很容易判断系统的能控性。,推论2.,二阶积分器系统是完全能控的； 一个系统完全能控不一定要在每个状态变量xi上都施加控制器，而可以通过控制一个状态变量，用这个状态变量来控制其他状态变量，从而使得控制输入影响所有状态变量，进而系统完全能控。,推论3.,推论4.,例7：,性质：状态方程作非奇异变换不会改变系统的能控性,4个推论,若尔当规范形 判据,定理4（PBH特征向量判据）. 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是： 矩阵A不存在与B的所有列正交的

8、非零左特征向量， 即对A的所有特征值i (i=1,2,n)，使同时满足 的左特征向量T =0.,证明：,不完全能控,（必要性）利用反证法和代数判据,不完全能控,（充分性）利用反证法和PBH秩判据,以上能控性判据对多输入-多输出系统的状态空间模型也适用！,能观性判据及对偶定理,能观性的定义,一个状态不能观：设x0为状态空间中非零有限点。将x0作为系统初始状态，即x(t0)=x0，若存在有限时刻t1t0使得对任意tt0,t1，有y(t)0。 系统不完全能观：状态空间中存在不能观状态。 系统完全能观：状态空间中所有非零有限状态是能观的。,格拉姆矩阵判据 代数判据 特征值判据,格拉姆矩阵判据,定理1.

9、 线性定常系统 完全能观的充分必要条件是存在t1t0，使格拉姆矩阵 非奇异。,（充分性）利用构造法,（必要性）利用反证法和定义,证明：,代数判据,定理2. 线性定常系统 完全能观的充分必要条件是,证明：,（必要性）利用反证法和定义,（充分性）利用反证法和格拉姆矩阵判据,不完全能观,例8：,特征值判据,定理3（PBH秩判据）. 线性定常系统 完全能观的充分必要条件是对矩阵A的所有特征值,特征值判据的重要推论,推论1.,例1. 给定一个系统，,将其表为标量方程组形式有，,可以直观看出，状态x2的变化不受输入u的控制；从输出y的变化不能得到状态变量x1的变化。所以可以说状态x2是“不能控”的，而状态

10、x1是“不能观”的。,推论2.,推论3.,推论4.,例9：,性质：状态方程作非奇异变换不会改变系统的能观性,4个推论,若尔当规范形 判据,定理4（PBH特征向量判据）. 线性定常系统 完全能控的充分必要条件是： 矩阵A不存在与C的所有行正交的非零右特征向量， 即对A的所有特征值i (i=1,2,n)，使同时满足 的右特征向量 =0。,对偶性原理,若系统 完全能控， 则系统 完全能观。,对系统S1，S2，,S2称为S1的对偶系统；S1称为S2的对偶系统。,注：,传递函数G1(s)=G2T(s)，对单输入-单输出系统G1(s)=G2(s) 传递函数 的状态空间实现,完全能控,对偶系统,完全能观,离

11、散时间系统的能控性和能观性,能控性定义,对离散时间线性定常系统,一个状态能控：非零有限状态x0是能控的，如果以它为初始状态，即x(k0)=x0，都存在有限时刻kf 和容许控制u(k)，k=k0,k0+1,kf -1，使系统在控制作用下x(kf)=0。,完全能控：k0时刻的任意非零初始状态x(k0)=x0，都存在有限时刻kf 和容许控制u(k)，k=k0,k0+1,kf -1，使系统在控制作用下x(kf)=0，则称系统完全能控。,能观性定义,对离散时间系统,完全能观：若对k0时刻的任意非零初始状态x(k0)=x0，都存在有限时刻kf，且可由k0，kf上的输出唯一地确定x0，则称系统是完全能观的。

12、,一个状态不能观：非零有限状态x0不能观的，如果以它为初始状态，即x(k0)=x0，都存在有限时刻kfk0，对k0kkf，其输出y(k)0。,能控性代数判据,对离散时间线性定常系统,完全能控的充分必要条件是,证明：（利用定义）,对单输入离散时间系统：,完全能控的单输入线性定常离散系统由任意初态转移至原点需要n个采样周期。,对多输入离散时间系统：,对任意x(0)，方程解存在的充分必要条件是,多输入线性定常离散系统由任意初态转移至原点一般可少于n个采样周期。,能观性代数判据,对离散时间线性定常系统,完全能观的充分必要条件是,证明：（利用定义）,因为能观性与控制输入无关，仅考虑零输入系统。,若其中有

13、n个独立方程，便可确定唯一的一组x(0)； 若独立方程个数小于n，便有无穷多解。,n个未知数，nl个方程,对系统S1，S2，,S2称为S1的对偶系统；S1称为S2的对偶系统。,离散化系统的能控性和能观性,一个不完全能控或不完全能观的连续系统，其离散化系统一定是不完全能控或不完全能观的。,离散化系统的能控性和能观性,例1：设连续时间线性时不变系统,该连续系统完全能控、能观 离散化系统（采样系统）是否完全能控能观呢？,一个完全能控或能观的连续系统，当其离散化后并不一定能保持其能控性或能观性。,采样系统的能控能观性保持条件,对连续时间线性时不变系统 采样系统 保持完全能控、完全能观的一个充分条件是，

14、对满足 的A的所有特征值，使采样周期T的值满足关系式,作业1：,设单输入线性定常离散系统状态方程为,（1）试判断其能控性； （2）若初始状态x(0)=2 1 0T，是否存在控制器使得不超过3步状态作用到原点？若存在请给出控制器输入值； （3）研究使x(2)=0的控制器存在的可能性。,作业2：,控制系统的结构分解,直观例子,例1. 给定一个系统，,状态x1, 0T是能控的， 状态0, x2T是“不能控”的； 状态0, x2T是能观的， 状态x1, 0T是“不能观”的。,能控子空间,不能控子空间,不能观子空间,能观子空间,控制系统的结构分解的系统对象： 不完全能控或不完全能观的系统 按能控性结构分

15、解：状态空间分解为 按能观性结构分解：状态空间分解为,能观子空间,不能观子空间,预备知识,所谓直和，指X与X1和X2之间满足如下关系： (1) 对任意xX，x可唯一地表示成 x=x1+x2，其中x1X1， x2X2； (2) dimX=dimX1+dimX2。 或者同时满足： X=X1+X2; X1X2=0 (x1X1， x2X2，x1Tx2=0)。,表示状态空间X是空间X1和X2的直和。,例2：对系统,坐标轴顺时针旋转45,基于系统的线性非奇异变换不会改变系统的能控性 按能控性结构分解的目标： 通过状态非奇异变换P将系统变换成如下形式,能控子空间为 ， 不能控子空间为 。,对n维线性定常系统

16、 (A,B,C)，设 rankQc= rankB AB An-1B = k n l1, l2, , lk 是Qc中k个线性无关的列向量，lk+1, ln是与向量组 l1, l2, , lk线性无关的(n-k)个线性独立的列向量。令 则状态变换 可将系统化为按能控性分解的规范形式,并且有：,证明：,（1） 具有规范分解形式,（2）,（3）,传递函数性质,注：,能控部分和不能控部分 能控部分： 不能控部分：,结构分解形式唯一，但结果不唯一,基于系统的线性非奇异变换不会改变系统的能观性 按能观性结构分解的目标： 通过状态非奇异变换P将系统变换成如下形式,其中子系统 完全能观。 能观子空间为 ， 不能

17、观子空间为 。,按能观性结构分解方法一,按能观性结构分解方法二,对偶系统,对偶系统,系统的能控能观结构分解,系统的能控能观结构分解,能控规范型和能观规范型,完全能控系统化为能控规范型的任务,变换矩阵P的构造,由系统完全能控，有,系统特征多项式,变换矩阵,Qc,W,推导,能控规范型,完全能控的任意两个代数等价系统 必然具有相同的能控规范型！,能控规范型,能观规范型,变换矩阵Q的构造,由系统完全能观，有,系统特征多项式,变换矩阵,Qo,W,能观规范型,完全能观的任意两个代数等价系统 必然具有相同的能观规范型！,例1.,传递函数中存在零极点对消时,例2：,虚拟输出实现,对偶实现,并联实现,当传递函数

18、中存在零极点相消时， 虚拟输出实现的系统是完全能控，但不完全能观的， 对偶实现的系统是完全能观，但不完全能控的。 任意系统实现的状态空间模型是不能完全能控或不能完全能观的。具体是哪种情形，取决于选择的状态向量,当传递函数中不存在零极点相消时， 总能找到系统实现，该系统状态空间模型是完全能控且完全能观的,单输入单输出系统是完全能控且完全能观的充分必要条件是：传递函数中不存在零极点相消。,能控规范型的推导,能控性和能观性小结,概 念,判 据,对偶性原理,对系统S1，S2，,S2称为S1的对偶系统；S1称为S2的对偶系统。,离散化系统与原连续系统能控（能观）的关系,若连续系统(A, B)不完全能控，

19、则以任意采样周期T 离散化后的系统（G,H）也一定不完全能控； 若连续系统(A,B)完全能控，则以采样周期T 离散化后的系统(G,H)不一定完全能控。 具体使得离散化系统不完全能控的T 的求解，可首先对系统离散化，然后代入能控性判据来求。,线性非奇异变换及不变特性,线性非奇异变换及不变特性,两种线性非奇异变换,不完全能控、能观的系统： 结构分解 完全能控、能观的SISO系统： 规范型,rankQc= rankB AB An-1B = k n； 取Qc中k个线性无关的列向量l1, l2, , lk ； 取与向量组l1, l2, , lk线性无关的(n-k)个线性独立的列向量lk+1, ln； 则

20、,能控性结构分解,按能控性的结构分解形式,非奇异矩阵的构造：,2. 取Qo中m个线性无关的行向量v1, v2, , vm ； 3. 取与向量组v1, v2, , vm线性无关的(n-m)个线性独立的行向量lk+1, ln；,能观性结构分解,按能观性的结构分解形式,非奇异矩阵的构造：,1.,4. 则,能控能观结构分解,能控规范型,规范型形式：,非奇异矩阵的构造：,能观规范型,规范型形式：,非奇异矩阵的构造：,Qo,W,传递函数矩阵与能控性、能观性的关系,若系统是不完全能控或不完全能观的，则该系统传递函数矩阵中一定会出现零极点对消； 对单输入单输出系统是完全能控且完全能观的充分必要条件是：传递函数

21、中不存在零极点相消; 当某一单输入单输出系统的传递函数中存在零极点相消时，则该系统一定是不完全能控或不完全能观的；,设单输入线性定常离散系统状态方程为,（1）试判断其能控性； （2）若初始状态x(0)=2 1 0T，是否存在控制器使得不超过3步状态作用到原点？若存在请给出控制器输入值； （3）研究使x(2)=0的控制器存在的可能性。,如果某一线性定常系统,的非零初始状态,是能控的，则状态,对任意,是否能控？请简单说明原因。,试判断如图中系统的能控性与能观性，系统中a,b,c,d的取值对能控性能观性是否有影响？讨论其取值条件。,李雅普诺夫稳定性分析,稳 定 性,李雅普诺夫意义下的稳定性概念,平衡

22、状态xe的稳定性：,注：,平衡状态xe的渐近稳定性：,平衡状态xe的大范围（全局）渐近稳定性：,如果球域S()的半径可以无限大，且平衡状态是渐近稳定的，即由状态空间中任意一点出发的轨迹都收敛至xe。,注：,与局部渐近稳定相对应。如果系统是局部渐近稳定的，那么对任意大的球域S()，符合条件的S()的半径都在一个有界范围内。 对于线性系统，如果平衡状态是渐近稳定的，那么它一定是大范围渐近稳定的； 对于非线性系统来说，其稳定性往往与初始条件有关，系统渐近稳定不一定是大范围渐近稳定。,不稳定：,对于某个 0和任一 0，无论这两个数有多小，在S()内总存在一个状态x0，使得由这一状态出发的轨迹会超出S(

23、) 。,李雅普诺夫第一法（间接法）,考虑连续时间线性线性定常系统的齐次状态方程,设矩阵A非奇异，则系统的平衡状态为xe=0。,系统 (零平衡状态)稳定的充要条件是矩阵A的特征值实部非正, 且实部为0的特征值的几何重数等于代数重数( 对应若当块为1阶). 渐近稳定的充要条件是A的特征值实部都为负。,如果A的特征值实部非正，且存在实部为零的单重特征值，那么状态中对应分量会趋于等幅振荡。系统是稳定的，但不是渐近稳定的。这种稳定性称为临界稳定。临界稳定是不可靠的（不具有鲁棒性）。,注：,李雅普诺夫稳定性（内部稳定性）与输入输出稳定性的关系,如果一个系统是内部稳定的，则它一定是输入-输出稳定的；,如果一

24、个系统是输入-输出稳定的，那么它不一定是内部稳定的；,对单输入-单输出系统而言，如果系统的传递函数是一个不可约的真有理函数，并且传递函数的阶次正好等于系统状态方程的维数，则输入-输出稳定性等价于内部稳定性，此时称该系统可由其传递函数完全表征。传递函数的极点完全等于系统的特征值，状态空间描述的是系统的最小实现。,例1.,一个连续时间线性定常系统输入-输出稳定的充分必要条件是其微分方程的特征方程的根（即不可约的传递函数的极点）全都具有负的实部。,李雅普诺夫第二法（直接法）,李雅普诺夫稳定性理论产生的启发：力学系统能量变化与系统稳定性的关系。 如果系统储存的能量持续地减小，直至耗尽，系统的状态就会趋于平衡态，那么系统稳定； 反之如果系统不断从外界获取能量，系统总能量越来越大，那么该系统是不稳定的。 能量函数V(x)：非负，如果变化率小于0，则V(x)趋于0. 能量函数的数学描述：正定的标量函数,正定函数的有关概念,对连续时间一般定常系统 系统平衡态为xe=0。如果可以