数学物理方程与特殊函数课件ppt14

1、1,Email: ,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,(一)、傅立叶变换的定义与性质,(二)、傅立叶变换的应用,第五章 积分变换,(三)、拉普拉斯变换的定义与性质,(四)、拉普拉斯变换的应用,主要内容,授课时数：8学时,3,本次课主要内容,(一)、傅立叶变换的定义,(二)、傅立叶变换的基本性质,(三)、n维傅立叶变换,傅立叶变换的定义与性质,4,1、周期函数的傅立叶级数展开,(一)、傅立叶变换的定义,展开定理：设f(x)是以2L为周期的函数，在-L,L上连续或只有有限个第一类间断点和有限个极值点，则在连续点处有：,其中：,5,在非连续点处：,2、非周期函数的傅立叶展开到傅立

2、叶变换的引出,非周期函数的傅立叶展开可以看成是周期函数傅立叶级数展开的极限情形.,设f(x) 在(-,+)内有定义，f(x)是非周期函数。又设f(x)在任意有限区间-L,L上分段光滑。由傅立叶级数展开定理：f(x)在-L,L上的傅立叶级数为：,6,其中：,把(2)代入(1)得：,当 时，得f(x)在(-,+)内的展开式。,为讨论该极限，假定：,7,于是f(x)在(-,+)内的展开式为：,令 于是(5)为：,8,由于,是关于的偶函数，所以：,令：,9,于是得：,称(7)为非周期函数f(x)的傅立叶积分，而(6)为函数f(x)的傅立叶变换。,由(7)+(8)得：,又因为：,10,注意到欧拉公式为：

3、,于是有：,11,若令：,则：,称(9)为函数f(x)的复数形式的傅立叶变换，(10)为傅立叶变换的逆变换。,算子形式：,傅立叶变换：,傅立叶逆变换：,12,傅立叶变换的存在条件：,f(x)在(-,+)绝对可积；(该条件很苛刻),(2) f(x)在任意有限区间分段光滑。,3、利用定义求函数的傅立叶变换,例1 求函数f(x)的傅立叶变换,解：,13,14,注意到：,(1) 若a|,则a-0且a+0，于是有：,(2) 若a=|,则：,15,所以：,于是得：,16,(3) 若a|,则,(a) 若0时，则a-0，有：,从而有：,(b) 若0且a+0，有：,17,从而有：,所以，当a|时,有,18,例2

4、 求函数f(x)的傅立叶变换,解：,19,例3 求高斯分布函数,的频谱函数.,解：即求f(t)的傅立叶变换,设,20,由变换公式得：,注：关于积分 的计算：,21,令： ，则：,由于被积函数在复平面上解析，所以由柯西定理：,构造闭围线如下：,22,所以：,所以：,同理：,由此得到：,23,例4 设a 是正的实常数，,(1) 证明：,(2) 由(1)，求函数C(),使,证明：设,24,而：,所以，有：,25,(2) 由函数C()满足：,有：,26,性质1.（线性定理）,(二)、傅立叶变换的基本性质,证明：,27,证明：,性质2.（卷积定理）,卷积定义：,28,性质3.（乘积定理）,证明：,29,

5、30,证明：由于,性质4.（原象的导数定理）,所以：,因此,由归纳法可证明一般情形。,31,证明：由于,性质5.（象的导数定理）,所以：,32,性质6.（延迟定理）,证明：,33,证明：,性质7.（位移定理）,34,证明：,性质8.（积分定理）,所以，由微分定理：,即：,35,性质9.(函数的傅立叶变换 ),性质10.(相似定理 ),a 为不等于0的实常数,36,证明：,(1) a0时,(2) a0时,37,所以,性质11,若 则,证明：由 得：,即,38,性质应用举例,例1 (1) 求证,证明：,所以,39,(2) 求,解：由线性性质得：,40,定义,(三)、n维傅立叶变换,41,n 维傅氏