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1、,排列、组合、二项式定理,知识结构网络图：,排列与组合,二项式定理,基本原理,排列,组合,排列数公式,组合数公式,组合数的两个性质,二项式定理,二项式系数的性质,基础练习,两个原理的区别与联系：,做一件事或完成一项工作的方法数,直接（分类）完成,间接（分步骤）完成,做一件事，完成它可以有n类办法， 第一类办法中有m1种不同的方法， 第二类办法中有m2种不同的方法， 第n类办法中有mn种不同的方法， 那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+mn 种不同的方法,做一件事，完成它可以有n个步骤， 做第一步中有m1种不同的方法， 做第二步中有m2种不同的方法， 做第n步中有mn种不同的方法， 那么完

2、成这件事共有 N=m1m2m3mn 种不同的方法.,两个基本原理补充,抽屉原理,2、把n个不同物体放入m个抽屉里的放入方法有mn种,例、集合A=1,2,-3,B=-1,-2,3,4,从A、B中各取一个元素作为点P(x,y)的坐标，可以得到多少个不同的点？ 这些点中，位于第一象限的有几个？, 3 4+4 3=24 2 2+22=8,3333=81,1、把n个不同物体放入m(mn)个抽屉里,至少有一个抽屉里要放两物体,1.排列和组合的区别和联系：,从n个不同元素中取出m个元 素，按一定的顺序排成一列,从n个不同元素中取出m个元 素，把它并成一组,所有排列的的个数,所有组合的个数,全排列：n个不同元

3、素全部取出的一个排列.全排列数公式：所 有全排列的个数，即：,这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式 右边的多项式叫做 (a+b) n的 ， 其中 （r=0,1,2,n）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，该项是指展开式的第 项，展开式共有_个项.,展开式,二项式系数,r+1,n+1,二项式定理,（1） 二项式系数的三个性质:,（2） 数学思想：函数思想。,二项式系数之和:,最 值:,（3） 数学方法 ： 赋值法 、递推法,当n是偶数时，中间的一项 取得最大时 ；,当n是奇数时，中间的两项 ， 相等， 且同时取得最大值。,增减性:,二项式系数性质,1.书架上层放有6本不同的数学

4、书，下层放有5本不同的语文书， 从中任取一本，有多少中不同的取法？ 从中任取数学书与语文书各取一本，有多少种不同的取法？,基础练习,6+5=11,65=30,2.某段铁路上有12个车站，共需准备多少种普通客票？,3.某段铁路上有12个车站，问有多少种不同的票价？,4.用3，5，7，9四个数字，一共可组成多少个没有重复数字的正整数,5、已知圆上有12个不同的点，过每两个点作一条直线，那么所有这些直线在已知圆内的交点个数为（ ）,B,基础练习,6. 15 人按照下列要求分配，求不同的分法种数。,(1)分为三组，每组5人,共有_ 种不同的分法。,（2）分为甲、乙、丙三组，一组7人，另两组各4人，共有

5、_种不同的分法。,（3）分为甲、乙、丙三组，一组6人，一组5人，一组4人，共有_种不同的分法。,7. 8名同学选出4名站成一排照相，其中甲、乙两人都 不站中间两位的排法有_种。,8. 某班有27名男生13女生，要各选3人组成班委会和团支部每队3人，3人中2男1女，共有_ 种不同的选法。,基础练习,8. 4名优等生被保送到3所学校，每所学校至少 得1名，则不同的保送方案总数为（ ）。 （A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6,9.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能 出现的错误的种数是（ ） （A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69,10.小于500

6、00且含有两个5，而其它数字不重复的五位数 有（ ）个。 （A) (B) (C) (D),A,B,B,基础练习,例1：1993年全国高考题：同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ） A6种B9种C11种D23种,解法1：设四人A，B，C，D写的贺年卡分别是a，b，c，d，当A拿贺年卡b，则B可拿a，c，d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，所以A拿b时有三种不同分配方法同理，A拿c ，d时也各有三种不同的分配方式由分类计数原理，四张贺年卡共有333=9种分配方式,解法2：让四

7、人A，B，C，D依次拿一张别人送出的贺年卡如果A先拿有3种，此时写被A拿走的那张贺年卡的人也有3种不同的取法接下来，剩下的两个人都各只有一种取法由分步计数原理，四张贺年卡不同的分配方式有3311=9种 应选B,例2.7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各自不同站法多少种？,(1).两名女生必须相邻而站. (2).4名男生互不相邻. (3).老师不站中间，女生不站两端. (4).女生甲不站左端，女生乙不站右端.,A66A22 =1440(捆绑法),A33A44 =144（插空法）,（3）A77A55 A22 A66 +A44 =4104（间接法）,（4）A7

8、7A66 A66 +A55 =3720（间接法）,例4某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？,解：由题意可知，在艺术组9人中，有且仅有一人既会钢琴又会小号（把该人称为“多面手”），只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，把会钢琴、小号各1人的选法分为两类：,第一类：多面手入选，另一人只需从其他8人中任选一个，故这类选法共有8种,第二类：多面手不入选，则会钢琴者只能从6个只会钢琴的人中选出，会小号的1人也只能从只会小号的 2人中选出，放这类选法共有6212种，因此有8+62=20种 故共有20种不同的选法,注

9、意：像本题中的“多面手”可称为特殊“对象”，本题解法中按特殊“对象”进行“两分法分类”是常用的方法,解：设,展开式各项系数和为,1,注意：求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项式中的字母为1,上式是恒等式，所以当且仅当x=1时， (2-1)n=, =（2-1）n=1,例5. 的展开式的各项系数和为_,例题讲解,解:,设 项是系数最大的项,则,二项式系数最大的项为第11项,即,所以它们的比是,例题讲解,分析:本题的左边是一个数列但不能直接求和.因为 由此分析求解,两式相加,例题讲解,巩固练习,一选择题,1(04福建)已知 展开式的常数项是1120, 其中实数 是常数,则展开式中各项系数的和 是( ),C,B,3 被4除所得