38第八节 雅可比与高斯—塞德尔迭代法.ppt

1、生成向量序列 x(k) ，若,第八节 雅可比迭代法 与高斯塞德尔迭代法,设方程组,一、雅可比迭代法,其中 aii0 ( i=1 , 2 , , n),等 价 方 程 组,建立迭代格式,称为雅可比(Jacobi)迭代法，又称简单迭代法。,或缩写为,记矩阵 A=D-L-U ，其中,于是雅可比迭代法可写为矩阵形式,其Jacobi迭代矩阵为 B1=BJ =D-1(L+U) ，即,例如已知线性方程组 Ax=b 的矩阵为,其雅可比迭代矩阵为,在 Jacobi 迭代中,计算xi(k+1)（2 i n）时,使用xj(k+1)代替xj(k) （1 j i-1），即,建 立 迭 代 格 式,二、高斯塞德尔迭代法,

2、或缩写为,称为高斯塞德尔（Gauss Seidel）迭代法。,其G-S迭代矩阵为,B2 = BG =(D-L)-1U,于是高斯塞德尔迭代法可写为矩阵形式,例如已知线性方程组 Ax=b 的矩阵为,其G-S迭代矩阵为,例1 用雅可比迭代法解方程组,解： Jacobi 迭代格式为,精确解是,解： Gauss-Seidel 迭代格式为,例2 用GaussSeidel 迭代法解上题。,取 x(0)=(0,0,0)T 计算如下：,定理 1 在下列任一条件下，雅克比迭代法收敛。,三、迭代收敛的充分条件,(证明见书P77),定理3 若矩阵A行（或列）严格对角占优，则解线性方程组Ax=b的Jacobi 迭代法和

3、Gauss-Seidel 迭代法均收敛 。,证 设矩阵A 行严格对角占优, 由,由此根据第五节定理4知道(I-BJ)是非奇异矩阵，因此 A=D(I-BJ)也是非奇异矩阵.,因为,所以 Jacobi 迭代收敛.,所以有,结论 若矩阵A行(或列)严格对角占优，则A是非奇异矩阵., 下面证明GaussSeidel 迭代法收敛.,下面证明| |1. 若不然, 即有 使| |1, 则,这说明(D-L)-U是奇异矩阵.,是行严格对角占优矩阵, 由结论知它是非奇异矩阵, 这与式(1) 矛盾, 所以| |1, 从而 (BG)1, 即GaussSeidel迭代法收敛.,即矩阵,定理4 若 A 为正定矩阵，则方程

4、组 Ax=b 的GaussSeidel 迭代法收敛。,证 因为A是对称正定的, 所以有 A =D-L-LT ,对 BG =(D-L) -1LT ，设为BG 的特征值， y 为对应的特征向量，即有,(D-L)-1LTy= y ， LTy= (D-L)y ，,则 LTy, y=(D-L)y, y,从而,因 A 正定，所以 D 正定，故设 D y, y =0。,所以| |1，从而 ( BG)1，故GaussSeidel迭代法收敛。,令 -Ly, y=a+ib，则由复向量内积的性质有,定理5 若 Jacobi 迭代矩阵BJ 为非负矩阵，则下 列关系有一个且仅有一个成立：,(1) (BJ )= (BG )=0； (2) 0 (BG) (BJ )1；,(3) (BJ )= (BG )=1； (4) 1 (BJ ) (BG ).,说明：当 Jacobi 迭代矩阵 BJ 为非负矩阵时, Jacobi 方法和 GaussSeidel 方法同时收敛或同时发散, 若为同时收敛, 则后者比前者收敛快。,解 雅可比迭代矩阵,故Jacobi 迭代法收敛。,再由定理5 的 2)或