曲面、曲线及其方程

1、第五节 空间曲面、曲线及其方程,一. 空间曲面及其方程,二. 空间 曲线及其方程,第六节 二次曲面的标准方程,一. 曲面及其方程,1. 曲面及其方程,2. 球面及其方程,4. 二次柱面,5. 旋转曲面及其方程,3. 柱面及其方程,第五节 空间曲面、曲线及其方程,1. 曲面及其方程,解,2. 球面及其方程,解,3. 柱面及其方程,柱面的方程,柱面的方程,二次柱面及其方程,二次柱面及其方程,二次柱面及其方程,解,旋转曲面及其方程,旋转曲面的方程,解,二. 空间曲线及其方程,1.空间曲线的一般方程 2. 空间曲线的参数方程 3. 空间曲线在坐标面上的投影,1. 空间曲线的一般方程,解,解,解,2.

2、空间曲线的参数方程,解,解,3. 空间曲线在坐标面上的投影,解,解,解,请注意： 一条曲线在一个坐标面上的投影是唯一的。 坐标面上的一条曲线可以是无穷多条曲线的投影。,半球面与锥面的交线为,由方程消去 z , 得 x2 + y2 =1,于是交线C 在xoy面上的投影曲线为,x2 + y2 = 1 z = 0,这是xoy面上的一个圆.,解:,1、椭球面 2、 抛物面 3、双曲面,第六节 二次曲面的标准方程,研究方法是采用平面截割法.,二次曲面,几种常见二次曲面.,(1) 椭球面,z,2 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆,当 |k | c 时, |k |越大, 椭圆越小;,当

3、 |k | = c 时, 椭圆退缩成点.,1 用平面z = 0去截割, 得椭圆,3 类似地, 依次用平面x = 0, 平面 y = 0截割, 得椭圆:,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面与椭球面的区别,方程可写为,球面,方程可写为,（2）双曲抛物面,(1),(3) 椭圆抛物面:,1 平面 z = k ,(k 0)截割, 截线是平面 z = k上的椭圆.,k = 0时, 为一点O(0,0,0); 随着k增大, 椭圆也增大.,2 用平面 y = k去截割, 截线是抛物线,3 类似地，用平面 x = k 去截割, 截线是抛物线.,（4）单叶双曲面,(a, b, c

4、均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面， 所得截线方程为, 椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,（5）双叶双曲面,(a, b, c均大于0),以平行于 xy 面的平面 z=z0 截曲面，所得截线方程为, 椭圆,以平行于xz面的平面 y=y0截曲面， 所得截线方程为,双曲线,以平行于 yz 面的平面x=x0 截曲面，所得截线方程为：,双曲线,椭球面、抛物面、双曲面、截割法.,（熟知这几个常见曲面的特性）,小结,思考题,思考题解答,表示双曲线.,思考题解答,表示双曲线.,练 习 题,练习题答案,二、,三、,1,2,3,4,5,典型例题,例1,解,由题设条件得,解得,例2,解,过已知直线的平面束方程为,由题设知,由此解得,代回平面束方程为,例