1.4角平分线的性质

1、第一章 直角三角形,1.4 角平分线的性质,情境导入,角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.,新知探究,如图，在AOB的平分线OC上任取一点P，作PDOA， PEOB，垂足分别为点D，E，试问PD与PE相等吗？,将AOB沿OC对折，可以发现PD与PE重合，即PD与PE相等.,PDOA，PEOB， PDO=PEO=90. 在PDO和PEO中， PDO=PEO， DOP=EOP， OP=OP， PDOPEO. PD=PE.,角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,思考,角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？ 如图，点P在AOB的内部，作PDOA，PEO

2、B，垂足分别为D，E.若PD=PE，那么点P在AOB的平分线上吗？,如图，过点O，P作射线OC. PDOA，PEOB， PDO=PEO=90. 在RtPDO和RtPEO中， OP=OP，PD=PE， RtPDORtPEO. AOC=BOC. OC是AOB的平分线，即点P在AOB的平分线OC上.,角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.,【例1】如图，BAD=BCD=90，1=2. （1）求证：点B在ADC的平分线上； （2）求证：BD是ABC的平分线.,证明（1）在ABC中， 1=2， BA=BC. 又BAAD，BCCD， 点B在ADC的平分线上.,（2）在RtBAD和RtBCD中， B

3、A=BC，BD=BD， RtBAD和RtBCD. ABD=CBD. BD是ABC的平分线.,随堂练习,1.如图，在直线MN上求作一点P，使点P到AOB两边的距离相等.,答案：如图所示.,P,2.如图，在ABC中，AD平分ABC，DEAB于点E，DFAC于点F，BD=CD. 求证：AB=AC.,证明：AD平分ABC，DEAB于点E，DFAC于点F， DE=DF. BD=CD, RtDBERtDCF. B=C. AB=AC.,思考,如图，已知EFCD，EFAB，MNAC，M是EF的中点.需添加一个什么条件，就可使CM，AM分别为ACD和CAB的平分线呢？,可以添加条件MN=ME（或MN=MF）.

4、MECD，MNCA， M在ACD的平分线上，即CM是ACD的平分线. 同理可得AM是CAB的平分线.,【例2】如图，在ABC的外角DAC的平分线上任取一点P，作PEDB，PFAC，垂足分别为点E，F.试探索BE+PF与PB的大小关系.,解 AP是DAC的平分线， 又PEDB，PFAC， PE=PF. 在EBP中，BE+PEPB， BE+PFPB.,思考,如图，你能在ABC中找到一点P，使其到三边的距离相等吗？,因为角平分线上的点到角两边的距离相等，所以只要作ABC任意两角（例如A与B）的平分线，其交点P即为所求作的点.点P也在C的平分线上，如图.,P,随堂练习,3.E是AOB的平分线上一点，ECOA于点C，EDOB于点D，求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD.,证明：（1）E是AOB的平分线上一点， ECOA于点C，EDOB于点D， CE=DE.ECD=EDC. （2）在RtCOE和RtDOE中， CE=DE，OE=OE. RtCOERtDOE(HL). OC=OD.,4.如图，在ABC中，ADDE，BEDE，AC，BC分别平分BAD，ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.,解：过C作CFAB于F. AC，BC分别平分BAD，ABE，且ADDE，BEDE， DC=CF，CE=CF. RtACDRtACF(HL)， RtBCERtBCF(HL). AD=AF