第4章 数学故事(选修课).ppt

1、第五章 趣题世界话数学,本章主要介绍一些有趣的数学问题及故事，如古印度的分牛传说、赌金风波、齐王赛马等。,内容提要,分牛的传说 破译密码的奥妙 赌金风波 抽签的顺序 戳穿“摸彩”骗局 齐王赛马 数列趣题 绝非危言耸听 猴子分栗子,1 分牛的传说,在古印度有一个古老的传说，一位老人临终前留下遗嘱，要把自己的遗产共19头牛分给三个儿子。老大分得总数的 ；老二分得总数的 ；老三分得总数的 .按照印度的教规，牛被视为神灵，不可以宰杀，只能整头分。先人的遗嘱更要无条件遵从。,2 破译密码的奥妙,20世纪70年代，许多研究密码的专家发现，把一些正向容易逆向困难的数学问题用来设密，就可以收到极好的效果！例如

2、，把两个50位的质数相乘，这是一件容易的事；但要从它们的乘积中分解出这两个质数来，就是用计算机也需用100万年。,3 赌金风波,假如一场比赛中胜6局才算赢，那么，两个赌徒在一个胜5局，另一个胜2局的情况下中断赌博，问赌金该如何分配？ 帕奇欧里（Paciuolo）的观点是，应该按5与2的比，把赌金分给他们两人才算合理。,3 赌金风波,在中止赌博之后所设想的4局比赛中，每局都有胜负两种可能，总共有2222=16种可能。其中只有最后一种，也就是第一个赌徒四局全负时，第二个赌徒才可能得到赢。而其余15种情况全都是输。因此，他们的赌金分配比例应该是15：1,3 赌金风波,一次赌徒梅累和赌友掷骰子，各押赌

3、注32个金币，梅累若先掷出3次“6点”，或者赌友先掷出3次“4点”,就算赢了对方。赌博进行了一段时间，梅累已掷出2次“6点”，赌友也掷出1次“4点”.此时，梅累奉命要马上去晋见国王，赌博只好中止。那么两人应该如何分配64个金币的赌金呢？,4 抽签的顺序,班级决定举办香港知识竞赛，每小组各派一名代表参加。要求赛前由各小组利用抽签的方式，随机决定参赛人选。（所有人抽到有记号的签的机会是相等的）,5 戳穿“摸彩”骗局,有一个“摆地摊”的赌主，他拿起8个白、8个黑的围棋子，置于一个签袋里。规定说：凡愿摸彩者，交一元钱从签袋里摸一次，一次从签袋里摸出五个棋子. 摸到5个白，彩金20元；4个白彩金2元；3

4、个白彩金0.5元；其它共乐一次。,5 戳穿“摸彩”骗局,摸到5个白，彩金20元；4个白彩金2元；3个白彩金0.5元；其它共乐一次。 如果摸1000次，赌主可收费1000元，他可能需要付出的“彩金”是多少？赌主可望净赚多少？,6、齐王赛马,齐王与大将田忌商议赛马，双方约定：各自出上、中、下三种等级的马各一匹。每轮进行三场对抗赛。输者每输一场要付给胜者黄金1000两。 由于田忌的马稍逊于齐王同等级的马，而在头一轮的比赛中，双方都要用同等级的马进行比赛，因此齐王很快赢了全部三场，得到了3000两黄金。,6、齐王赛马,鉴于第一次赛马的惨败，所以当齐王满面春风的再一次邀请田忌赛马时，田忌感到很为难。一方

5、面君王的旨意不好违背，另一方面自己对胜负已定的比赛失去了信心。这时田忌的军师孙膑给田忌出了一个主意，使得这一轮齐王不但没赢，反而输了1000金。 你知道齐王是怎样输的吗！,6、齐王赛马,1943年2月，美军获悉：日本舰队集结南太平洋的新大不列颠岛，准备越过俾斯麦海开向伊里安岛。美西南太平洋空军司令肯尼，奉命阻截轰炸日本舰队，从新大不列颠岛去伊里安岛的南北有两条航线，航程约为3天。未来3天北路气候阴雨连绵，南路晴朗。美军在拦截前务必要派侦察机侦察，待发现日舰航线后，再出动大批轰炸机进行轰炸。,6、齐王赛马,对美军来说，全部可能的方案如下： （N,N）方案：集中侦察北路，派少量侦察机侦察南路，日舰

6、也走北路。虽然天气不好，但可望一天之内发现日舰，有两天时间轰炸； （N,S）方案：集中侦察北路，派少量侦察机侦察南路，日舰走南路。因南路天气晴朗，少量侦察飞机用一天也能发现日舰，轰炸时间也仅有两天； （S,N）方案：集中侦察南路，派少量侦察机侦察北路，日舰走北路。少量的飞机在阴雨的北路侦察，发现目标需要两天，轰炸时间仅有一天； （S,S）方案：集中侦察南路，派少量侦察机侦察北路，日舰走南路。能立即发现日舰，这样便有三天的轰炸时间。,6、齐王赛马,对于美军来说，最理想的方案是（S,S），因为它能赢得三天的轰炸时间。但由于预先日方对策并不知道，假如贸然集中力量侦察南路，也许会落得最差的（S,N）结

7、果。 日方在考虑对策的时候，既要看到自己的最佳方案（S,N），也不能不估计到对自己最不利的方案（S,S）。因此，对于日舰来说，走南路颇为冒险。 美军司令肯尼迪将军经过认真研究，毅然决定把重点放在北路。结果这场载入史册的俾斯麦海海战，最终以美军获胜告终,7 数列趣题,例1 数列1，2，3，它的第四项是几？ 你会说：第四项是4，这固然不错，由于这时你把数列通项视为n.但假如我说：第四项是10（或其它数），也正确，因为我们也可以把此数列的通项看作：,7 数列趣题,例2 数列1，4，9，16，它的第五项是什么数？ 你会说：第五项是25，这固然不错，由于这时你把数列通项视为 .可你如果把数列的通项看作：

8、 这样该数列第五项便是49.,7 数列趣题,请你找一个通项公式，使数列的前面几项是：1，2，3，5，,8 绝非危言耸听,公元1972年，尼克松再次当选为美国总统后，提议美国和前苏联两国联合攻克癌症。提议马上被采纳。美方赠送了供研究的23种致癌病毒；前苏联回赠了六名癌症患者的癌细胞标本。,8 绝非危言耸听,第二年一月，美国国立癌症研究中心决定，将前苏联的癌细胞标本分别送给几位科学家研究。其中的一份，送到了加州细胞培养所实验所所长尼尔森芮斯博士手中。 尼尔森芮斯经过几番周折，终于明白了，前苏联赠送的所有六个标本，全是二十多年前死了的美国黑人拉克丝的细胞。,8 绝非危言耸听,科学家们提取这种癌细胞并

9、加以培养，发现这些癌细胞竟以 这样的指数曲线快速地生长！每24小时就增加一倍（上式中为原始量，x为天数）。就这样，这种新发现的癌细胞被称为“海拉”，并被严格控制在实验室。,8 绝非危言耸听,假如任其疯狂生长，那么依理论计算，一年后将达到 如此多的细胞，不必说占领整个地球，就是占领整个宇宙也不算过分！ 幸好人类已经学会了对生物的有效控制，才阻止了这种有害生物数量指数般的繁殖和生长。,9、猴子分栗子,1979年春，美籍中国物理学家，诺贝尔物理奖获得者李政道博士，在访问中国科技大学时，向科技大学少年班学生提出以下有意思的问题：“海滩上有一堆栗子，这属于五只猴子的财产，它们要平均分配。第一只猴子来了，

10、它左等右等别的猴子都不来，便将栗子分成五堆，每堆一样多，还剩下一个栗子。它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了其中的一堆。第二只猴子来了，它又把栗子分成五堆，又多一个。它又扔掉一个，自己拿走了一堆。以后每只猴子来时也都遇到相同的情形，也全都照此办理。问：原来至少有多少个栗子？最后至少有多少个栗子？”,9、猴子分栗子,设该堆原来有x个栗子，最后剩下y个栗子。根据题意得： 整理后得： x=3121, y=1020,10、如何稳操胜劵,有一个著名的古典对策游戏：两个人坐在一张普通的圆桌子旁，轮流往桌面上摆硬币，双方约定，所放的硬币必须是相同币值的，且都必须平放而不许重叠。谁在桌上放下最后一枚硬币，谁

11、便是胜利者。,10、如何稳操胜劵,九张扑克牌，分别是A（作为1点）、2、3、9. 两人轮流拿一张牌，已拿走的牌不能重新放回去，谁手中有三张牌的点数之和为15，就算谁赢。,10、如何稳操胜劵,1907年，数学家威索夫（Wythoff）发表了一项两个人玩的游戏。在游戏中，两人轮流从甲乙两堆火柴中拿走一些火柴。开始时每堆火柴的数目是任意的，比如各为p和q.我们用有序数偶(p,q)来表示此时火柴的状态。 游戏的规则是这样的，每次可用三种方法之一移动火柴： 从甲堆中移走部分火柴； 从乙堆中移走部分火柴； 从甲乙两堆火柴中各移走数目一样的火柴。 只要谁拿走最后的火柴，就算谁赢。,11、火柴游戏的制胜诀巧,

12、游戏的规则是这样的：有若干堆火柴，每堆火柴的数目是任意的。现有A、B两人轮流地取这些火柴，每人仅能从某堆中取去若干根火柴，也可以整堆全部取走，但不允许跨堆取，即不能一次向两堆中拿。约定谁拿走最后的一根火柴，就算谁赢。,11、火柴游戏的制胜诀巧,看准那些形如：（2，2），（1，2，3），（n,n）,(1,2n,2n+1)之类基本获胜位置或它们的组合，你肯定会胜利的。,12 数学竞赛与减影诊断,在1983年举办的第17届全苏中学生数学竞赛中，有这样一道试题：有一张无边的方格网，你是否能在这张方格网的每一个方格中填上某一个整数，使得这张方格网上的每一个尺寸是46个小方格的矩形里的所有小方格中填的数字

13、之和是1？,12 数学竞赛与减影诊断,神奇的数字减影血管显像技术（简称DSA技术） ，其原理就是上面提到的数学竞赛题的解题思路。医生在为病人注射造影剂的前后，分别对颈动脉拍摄了两张X光片，其中，一张颈动脉血管影像深，另一张浅，将这两张底片划分成许多极小的小方格，于是画面就被看成是许多明暗不同的小点组成的。然后根据每一个小方格明暗程度的不同，用数字转换器转换成相应的数字，得到了两张有数字的方格网。再将这两张方格网的数字送入计算机依次进行逐点相减。得到一张新的方格网。再把这一张新的方格网还原成底片，于是便得了一张没有骨骼组织干扰的异常清晰的血管影像！,13 逆向推理,逆向推理是一种重要的思维方式，

14、它用另一种方式沟通了原因和结果之间的联系。 逆向推理的实质，是从结果出发，一步步往前追溯原因，因而常常成为一些对策游戏的取胜之道。,13 逆向推理,请看源于古罗马的一个智力游戏： 古时候有一位国王，他有一个美丽的女儿，名为约瑟芬。话说当时公主约瑟芬正值二八年华，并且才华出众，美艳绝伦，引得无数青年小伙子倾慕，求婚者更是踏破门坎。不过，这位美貌公主当时已悄悄地爱上了一位英俊的小伙子乔治。 约瑟芬的父亲，是一位具有花岗岩般脑袋的国王。他虽然特别爱自己的女儿，但他却坚持要通过一种传统的仪式，以确定女儿应该嫁给谁。,13 逆向推理,仪式是这样的：先由公主在自己认为合适的求婚者中选出10人，然后让这10

15、名求婚者围着公主站成一圈，接着让公主根据自己的意愿挑选任何一人作为起点，并且按顺时针方向逐个地数到17（公主的年龄），那么这第17个人就必须退出求婚者的圈子，意为被淘汰。然后，在接下去从1起数到17，这被数为第17的人又会被淘汰，如此进行下去，直到只剩下一个人为止，这个人就应该是公主的丈夫。,13 逆向推理,怎样才会使得最后留下的是心爱的乔治呢？约瑟芬为此而苦思冥想。她拿出十枚金币围成一圈，试了一次又一次，终于悟出了道理，如愿以偿了！ 原来约瑟芬发现：不论从哪一枚金币开始数，只要是每次把数列的第17块金币拿掉，那么最后剩下来的一块，就总是最初开始数的第3块金币。于是，在仪式中她毅然决然地选择了

16、乔治的前两个人作为起点，开始计数。,13 逆向推理,“抢一百”是我国民间流传十分广泛的儿童游戏，玩法特别简单：两人从1开始轮流报数，每人每次最少报一个数，最多报5个连续的数，最先报到“100”的人会获胜。,13 逆向推理,这个游戏先报数的人只要掌握契机必然获胜！事实上，要抢到“100”就必须要抢到“94”；要抢到“94”就必须抢到“88”；要抢到“88”就必须要抢到“82”；。这一系列制胜点的第一个制胜点为“4”，谁先报到“4”，谁就能最后报到“100”，所以第一个报数的人只要每次抢报制胜点，便能胜券在握！,14 “算”出来的行星,德国数学家高斯利用数学公式计算出了这颗行星的轨道，这样，人们按

17、照数学家的计算于1801年12月7日，终于找到了这颗行星谷神星，它与太阳的跟离是27.7 后来人们又在这些空隙里陆续发现许多小星小行星，到目前为止已达2000多个数目。,15 众里寻它千百度(群试法),把验血问题抽象化，我们可以得出这样一种“数学模型”： 已知N个物体中含有d个坏物，如果从中取出一群物体来作试验，结果只有“好”、“坏”两种。结果为好时，说明这群物体都是好的；结果为坏时，则说这群物体中至少含有一个坏物。问怎样才能用最少的试验次数，把d个坏物全部找出来。 可以看到，工厂产品检验等许多问题都属于这一类。因此，群试法用途很广泛。,16 有趣的智力游戏,“猜帽色”问题 老师为了分辨出他的

18、三个得意门生中谁最聪明，而采用了以下的方法：事先准备好 5 顶帽子，其中 3 顶是白的， 2 顶是黑的。他首先把这些帽子让三个人都看了看，然后要求他们闭上眼睛，又替每人戴上一顶帽子。最后再让他们张开眼睛，并判断自己头上戴的帽子是什么颜色。 三位学生互相看了看，都迟疑了一下，然后又差不多同时判定出自己头上戴的帽色。,16 有趣的智力游戏,“猜帽色”问题 白颜色,17 有趣的智力游戏,“撒谎者”的故事： 甲说：“乙撒谎了或丙撒谎了。” 乙说：“甲撒谎了。” 丙说：“甲、乙都撒谎了。” 问究竟谁是撒了谎？谁说的是真话？,17 有趣的智力游戏,在整个故事中仅有甲是惟一说真话的人！,17 有趣的智力游戏,另一