科学计算与数学建模第1章 数学建模与误差分析—1.7-误差传播-2016-10-05.pptx

1、1.7 误差传播,在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些 近似值，带有误差，这些数据误差在多次运算过程中会 进行传播，使计算结果产生误差。为确定计算结果所能 达到的精度，对算法进行误差传播分析是十分重要。 同一个数学问题的不同算法对初始误差的传播是不 同的，现在就来分析算法对初始误差的传播。不考虑模 型误差、截断误差和舍入误差，仅分析初始误差对算法 计算结果的影响，即分析算法的稳定性。,的近似值为,。,为便于分析，将算法记为 y,fx1 , x 2 , xn ，,x1 , x2 , xn,*,12,* n,x, x, x,相应的绝对误差和相对误差为(xi ) 和r (xi )， 则算法的

2、精确值和近似值分别为：,和,y f (x1, x2, xn ),*,*,12n,yf (x , x , x ),所谓算法误差的传播分析就是找出算法的结果误差与 初始误差的关系，即,*,12n,12n,(y) (y y ) ( f (x , x , x ) F(x ),(x ),(x ),?,r (y) r ( f (x1, x2, xn )?G(r (x1),r (x2 ),r (xn ),nn,i 1,i 1,x i( x i ),可见，近似值之和的绝对误差等于各近似值绝 对误差的代数和。,一般地，加减法的绝对误差传播公式为：,( y) x1 x2 ,*,12,12,x x(x x ),*,

3、*,1122,12,(xx) (xx) xx,1.6.1 误差在算术运算中的传播 (1) 加减法 y f x1, x2 x1 x2 的误差传播公式,r x2 ,r x1 ,x1 x1 x2,x2 x1 x2,x1,x2,max(r (x1),r (x2 ),max(r (x1),r (x2 ) ,x1 x2,x1 x2,(x1 x2 ),r ( y) r x1 x2 ,x1 x2,( x1 ) ( x2 ),x1 x2,max(r ( x1 ),r ( x2 ),r x1 x2 max(r ( x1 ),r ( x2 ),即,r x1 x2 xn max(r (x1),r (x2),r (xn

4、 ),一般地,加法的相对误差传播公式,r1,r2,x ,x ,x1 x1 x2,x2 x1 x2,需要特别注意的是减法的相对误差传播,(x1 x2 ),r (y) r x1 x2 ,x1 x2,(x1) (x2 ) ,x1 x2,*,*,*,*,1,* 2,12,1,2,r,r,r,x,x,xx,x,x,x* x* 12,x* x* 12,由于,当,，即两个相近的近似数相减时，其相对误差,*,*,12,xx,r x1 x2 可能会很大，计算结果的有效数字将严重丢 失，计算精度会很低。 故在实际计算中，应尽量设法避免相近的近似数相减。,*,*,*,*,211,12221,12,x (x x )

5、x (xx ) x (x ) x (x ),*,*,121212,*,*,12121212,(x x ) x xx x,x xx xx xx x,（2）乘法的误差传播公式,n,n,n,i,x,x*,(x ),j 1 j i,i , i 1i 1, ,j ,*,*,n,r,ri,x,x,i1,i1,n i,12,( x x),r ( x1 x2 ) ,即,r (x1x2) r (x1) r (x2),*,2112,x1 x2x1 x2,x ( x ) x ( x),*,1,x,x1,r ( x2 ),r ( x1 ) ,一般地，,可见，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对 误差的代数和。当乘

6、数的绝对值很大时，乘积的绝对 误差可能会很大，因此应设法避免。,（3）除法的相对误差传播公式 ?,1.6.2 误差传播估计的一般公式,则函数 在点,处的Taylor展开式为：,12,*,12,f (x , x )(x ,x ),的近似值，即,。,*,设二元函数 y f ( x 1 , x 2 )，设 x 1,*,和 x 2分别是 x 1 和 x 2,*,12,y f (x ,x ),的近似值， y * 是函数值,y,1212,1122,2,*,*2,11,1,2,*,*2,12,2,f (x , x) f (x *, x *) ( f)* (xx* ) ( f)* (xx* ),x1x2,1f

7、,f,(),(xx)2(,)* (xx* )(xx* ) 1122,2!x2,x1x2,f,x2,()(xx) ,如忽略高阶小量，则上式可简化为:,式中，,一般都是小量值，,*,111,( xx) ( x ),*,22,2,和(x x) (x),1212,12,f (x , x ) f (x*, x* ) ( f)* (x ) ( f)* (x ),x1x2,1,* 2,1,2,1,2,) *) *,r,r,r,y * *,y *,x,x,y *,y *,( x 2 ),( y ), * ( y ),(f( x 1 )(f,x 1y *x 2,(f) *,( f) *,* ( x) , * (

8、 x),x,x,因此，y * 的绝对误差为：,分别是,和,对的绝对误差增长因子（或称传播系数），,*,式中，(x1)和(x2) 前面的系数 ( x),f,*,12,和 ( x),f,y *,* 1,x,* 2,x,它们分别表示绝对误差(x1) 和(x2) 经过传播后增大 或缩小的倍数。 由(1.6.1)可得出 y* 的相对误差为：,1212,12,(y) y y*f (x , x ) f (x *, x *) ( f )* (x ) ( f )* (x ),x1x2,（1.6.1）,（1.6.2）,处作Taylor展开,并略去其中,的绝,同理，只要将更为一般的多元函数 y f (x1, x2

9、, xn ) 在点,*,* ,*,12n,( x,x , x),(x1), (x2), , (xn),和前面的系数,和,分别,是,和,对误差,和经过传播后增大或缩小的倍数。,*,r1,(x ),*,r2,(x ),*,*,1,*,(),x,f,yx,*,*,2,*,12,),x,f,( yx,上式中， *,1,x,* 2,x,*,),r1,( x,对 y * 的相对误差增长因子，它们分别表示相 *,r2,(x ),(,n,i 1,( y ),)* ( x),f xi,i ,（1.6.3）,等小量的高阶项，可得到一般算法 f ( x1 , x2 , xn对) 误差 和相对误差的传播估算式分别为： 绝对误差传播公式,*,n,i,r,x*,f,* ( y) ,xi,i 1 y,()* * ( x ) ri ,（1.6.4）,相对误差传播公式,上两式中的各项 和,分别为各个,*,i,x (i1,2,n),*,(),f,x,i i,x,* i y*,x,( f )*(i 1,2,n),的绝对误差和相对误差的增长因子（或传播系数）。 从误差的传播公式可知，误差增长因子的绝对值很 大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成计算结果 的很大误差。凡原始数据的微小变化可能引起结果的很 大变化的这类问题,称为病态问题或坏条件问题。,1.7 误差