2.1圆的标准方程

1、,圆的标准方程,黄石三中 曹旗,一、创设情境,美丽的“圆”,惊险的“弧线”,大型摩天轮,隧道的“包容”,公园一隅,共享单车,二、引入新课,问题1: 在上一节中，我们已经在平面直角坐标系下，研究了直线与方程。 一条直线可以用一个二元一次方程来表示，反过来，一个二元一次方程也可以表示一条直线，我们可以通过研究方程来得到直线的性质。 那么，我们熟悉的圆也可以用一个方程来表示吗？,问题2 我们初中已初步学习了圆，请同学们回忆，我们是如何定义圆呢？,要确定一个圆，需要两个要素：,圆心和半径,圆的定义：平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。,圆心,半径,A,M,设M为圆心为A，半径为r ( ) 的

2、圆上的一个动点，那么动点M满足的条件是：,|MA|=r,r,三、探究新知,问题: 在直角坐标系下，设圆的圆心A坐标为 ，半径为 （其中 、 、 都是常数， ）， 你能得到圆的方程吗？,y,设M为圆心为A，半径为r的圆上的一个动点， 那么动点M满足的条件是：,|MA|=r,解：设圆上任一点M坐标为,根据圆的定义，圆就是集P=M|MA|=r,点M在圆上,M(x,y) 适合上述方程,圆的标准方程,y,x,O,M,圆心A(a,b),半径r,注：1.方程是关于x，y的二元二次方程； 2.括号内变量x,y的系数都是1,展开后没有xy项； 3.方程右边是半径的平方，而不是半径。,两点间距离公式,平方,加油,

3、快问快答,（1）说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径： (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (x a)2 + y 2 = m2 （ ）, 2x2 + 2y2 1 = 0,圆心：（-7，4），半径：6,圆心：（a，0），半径：,圆心：（0，0），半径：,x2 + y2 =,加油,（2）说出下列圆的方程 经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3) 圆心为原点,半径为3,特别的， 当圆的圆心为原点，圆的标准方程为：,当圆的圆心为原点且r=1时，圆的方程为：,单位圆,快问快答,例 写出圆心为 ，半径长等于5的圆的方程，并判断点 ， 是否在这个圆上。,解：圆心是 ，半径长等于5的圆的标准方

4、 程是：,四、新知应用,把点 的坐标代入方程 左右两边相等，即点的坐标适合圆的方程，所以 在这个圆上；,把点 的坐标代入方程 左右两边不相等，即点的坐标不适合圆的方程，所以 不在这个圆上。,追问： 是在圆内？还是圆外？,点与圆的位置关系,A,A,A,M,M,M,设|MA|=d，圆半径为r,点在圆上,点在圆内,点在圆外,d=r,dr,dr,y,y,y,思考： 是在圆内？还是圆外？,d=|M2A|=,点M2 在圆外,平方,你发现了什么？,比较,怎样判断点 在圆 圆上？圆内？还是在圆外呢？,A,x,y,o,M3,五、新知归纳,特殊,一般,点在圆上,点在圆内,点在圆外,试一试：点 与圆 的位置关系是_

5、,点P在圆上或圆外,(x0-a)2+(y0-b)2r2,(x0-a)2+(y0-b)2 =r2,(x0-a)2+(y0-b)2r2,代数问题,几何问题,几何问题代数化,六、例练探析,例 的三个顶点的坐标是 ， 求它的外接圆的方程。,六、例练探析,例 的三个顶点的坐标是 ， 求它的外接圆的方程。,法一 解：设所求圆的方程是,因为 都在圆上，所以它们的坐标都满足此方程。于是,六、例练探析,例 的三个顶点的坐标是 ， 求它的外接圆的方程。,思考：还有别的解法吗？,D,E,M,六、例练探析,例 的三个顶点的坐标是 ， 求它的外接圆的方程。,解法一：设所求圆的方程是,因为 都在圆上，所以它们的坐标都满足

6、此方程。于是,所以， 的外接圆方程为,代数法,待定系数法,解法二: 因为 ，所以线段 的中点 的坐标为 ， 直线 的斜率 。,因此线段 的垂直平分线 的方程 ，,同理，可得线段 的垂直平分线 的方程是 。,圆心 的坐标是方程组 的解。,解此方程组，得 ，所以圆心 的坐标是 。,半径长为,所以， 的外接圆的方程为 。,即 。,几何法,数,形,精确计算,完美展现,数形结合,归纳思考,上面第二种解法，用的是什么方法？和法一相比，有什么不同？,几何法,特别地，若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为：,2、点与圆的位置关系,3、求圆的标准方程的方法, 几何法：数形结合, 代数法：待定系数法,1、圆的标准方程,圆心C(a,b),半径r,七、课堂小结,知识上,思想方法上,1、“坐标法”思想,坐标法是研究几何问题的重要方法，通过坐标系，把点和坐标、曲线和方程联系起来，实现了形和数的统一。,2、“数形结合”思想,几何问题代数化,数缺形时少直观， 形缺数时难入微； 数形结合百般好， 隔离分家万事休。 华罗庚,笛卡尔,数与形,