《2.2.1.1综合法》课件5.ppt

1、2.2直接证明与间接证明 2.2.1综合法和分析法 第1课时综合法,综合法,已知条件,定义,公理,定理,推理,论证,已知,条件,定义,公理,定理,所要证明的结论,1.判一判(正确的打“”，错误的打“”) (1)综合法是执果索因的逆推证法.() (2)综合法证明的依据是三段论.() (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.(),【解析】(1)错误.综合法是一种由因导果的顺推证法. (2)正确.综合法的逻辑依据是三段论. (3)正确.综合法从“已知”看“可知”，逐步推出“未知”，其逐步推理实际上是寻找它的必要条件. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已

2、知函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数，则b的值为. (2)在不等式“a2+b22ab”的证明中:因为a2+b2-2ab=(a-b)20所以a2+b22ab，该证明用的方法是. (3)角A，B为ABC内角，AB是sinAsinB的条件(填“充分”“必要”“充要”或“既不充分又不必要”).,【解析】(1)由于f(x)为偶函数.所以f(-x)=f(x). 所以ax2-bx+c=ax2+bx+c， 所以-bx=bx，所以b=0. 答案:0 (2)由因导果，易知该证法为综合法. 答案:综合法 (3)角A，B为ABC内角且AB，所以sinAsinB，由sinAsinB(A，B均为ABC的内角)知AB.

3、 答案:充要,【要点探究】 知识点 综合法 1.综合法的基本思路 综合法的基本思路是“由因导果”，由已知走向求证，即从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后导出待证结论或需求的问题.,2.综合法的两个特点 (1)用综合法证明不等式，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹. (2)因用综合法证明命题“若A则D”的思考过程可表示为:,故要从A推理到D，由A推演出的中间结论未必唯一，如B，B1，B2等，可由B，B1，B2进一步推演出的中间结论则可能更多，如C，C1，C2，C3，C4等等. 所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明问题的“

4、瓶颈”.,【知识拓展】综合法证明不等式时常用的不等式 (1)a2+b22ab(当且仅当a=b时取等号). (2) (a，bR*，当且仅当a=b时取等号). (3)a20，|a|0，(a-b)20. (4) 2(a，b同号). -2(a，b异号). (5)a，bR，a2+b2 (a+b)2.,(6)不等式的性质 定理1对称性:abbc. 定理3加法性质: a+cb+c. 推论 a+cb+d. 定理4乘法性质: acbc. 推论1 acbd. 推论2 anbn. 定理5开方性质:,【微思考】 综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？ 提示:综合法的推理过程是演绎推理，它的每一步推理都是严密的逻辑推

5、理，得到的结论是正确的.,【即时练】 1.(2014福州高二检测)下面的四个不等式:a2+b2+3 ab+ (a+b)；a(1-a) ； 2；(a2+b2) (c2+d2)(ac+bd)2，其中恒成立的有. 2.求证:a2+b2+c2ab+ac+bc.,【解析】1.因为a2+b22ab，a2+32 a，b2+32 b.相加 得2(a2+b2+3)2ab+2 (a+b)，所以a2+b2+3ab+ (a+b)， 所以正确.由于a(1-a)- =-a2+a- =- 0.所以 正确.(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2a2c2+2abcd+ b2d2=(ac+bd)2，

6、所以正确.而 2，因为a，b的符号不确定，所以不一定成立. 答案:,2.因为a2+b22ab，a2+c22ac，b2+c22bc. 将此三式相加可得 2(a2+b2+c2)2ab+2ac+2bc，所以a2+b2+c2ab+ac+bc， 所以原式成立.,【题型示范】 类型一 用综合法证明三角问题 【典例1】 (1)(2014马鞍山高二检测)在ABC中，已知cosAcosB sinAsinB，则ABC的形状一定是. (2)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA= (2b-c)sinB+(2c-b)sinC. 求证:A的大小为60； 若sinB+sinC= .证明ABC为等

7、边三角形.,【解题探究】1.题(1)中ABC的形状可从哪些角度判断？ 2.题(2)中A的大小怎样与已知条件联系起来？中怎样说明ABC为等边三角形？ 【探究提示】1.可以从边的角度或角的角度判断ABC的形状，结合已知条件应从角的角度判断. 2.中可利用正弦定理将角与边互化然后利用余弦定理求A； 中由sinB+sinC= 及隐含条件A=60可求B，C，说明ABC的形状.,【自主解答】(1)因为cosAcosBsinAsinB， 所以cosAcosB-sinAsinB =cos(A+B)0. 因为0A+B，所以0A+B . 又C=-(A+B)，所以C 即ABC为钝角三角形. 答案:钝角三角形,(2)

8、由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC， 得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c， 即bc=b2+c2-a2， 所以cosA= 所以A=60.,由A+B+C=180得B+C=120， 由sin B+sin C= 得sin B+sin(120-B)= sin B+(sin 120cos B-cos 120sin B)= sin B+ cos B= 即sin(B+30)=1. 因为0B120， 所以30B+30150， 所以B+30=90，即B=60， 所以A=B=C=60. 即ABC为等边三角形.,【方法技巧】 1.综合法处理问题的三个步骤,2.证明三角等式的主要依据 (1

9、)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式. (2)和、差、倍角的三角函数公式. (3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理. (4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式.,【变式训练】已知a，b，c为ABC的三边，xR，求证:方程a2x2+(b2-a2-c2)x+c2=0没有实数根.,【证明】已知a，b，c为ABC的三边，xR，和方程a2x2+(b2-a2-c2)x+c2=0. 根据根的判别式可知:=(b2-a2-c2)2-4a2c2 =(b2-a2-c2+2ac)(b2-a2-c2-2ac) =(b-a+c)(b+a-c)(b-a-c)(b+a+c)， 又因为a，b，c是ABC的三边， 故

10、b-a+c0，b+a-c0，b-a-c0. 所以=(b-a+c)(b+a-c)(b-a-c)(b+a+c)0， 故方程a2x2+(b2-a2-c2)x+c2=0没有实数根.,【补偿训练】求证:sin3=3sin-4sin3. 【解析】左边=sin(2+) =sin2cos+cos2sin =2sincos2+(1-2sin2)sin =2sin(1-sin2)+sin-2sin3 =2sin-2sin3+sin-2sin3 =3sin-4sin3=右边. 所以sin3=3sin-4sin3.,类型二 综合法在数列中的应用 【典例2】 (1)(2014温州高二检测)已知方程(x2-mx+2)(x

11、2-nx+2)=0 的四个根组成一个首项为 的等比数列，则|m-n|=.,(2)设数列an的前n项和为Sn，满足(3-m)Sn+2man=m+3(nN*).其中m为常数，且m-3，m0. 求证:an是等比数列. 若数列an的公比q=f(m)，数列bn满足b1=a1，bn= f(bn-1)(nN*，n2)，求证: 为等差数列.,【解题探究】1.题(1)中m，n的值怎样求解？ 2.题(2)中证明等比数列的关键是什么？中怎样说明为 等差数列？ 【探究提示】1.利用根与系数的关系结合等比数列的性质可求m，n. 2.中关键是利用an+1与Sn和Sn+1之间的关系结合等比数列的 定义；中利用定义说明，即

12、常数(n2).,【自主解答】(1)方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0 x2-mx+2=0 或x2-nx+2=0.设方程两根为x1，x4，方程两根为x2，x3. 则x1x4=2，x1+x4=m，x2x3=2，x2+x3=n.因为方程(x2-mx+2) (x2-nx+2)=0的四个根组成一个首项为 的等比数列.所以 x1，x2，x3，x4分别为此数列的前四项且x1= ，x4= =4，公比为2，所以x2=1，x3=2，所以m=x1+x4= +4= ，n=x2+x3=1+2=3， 故|m-n|= 答案:,(2)由(3-m)Sn+2man=m+3，得(3-m)Sn+1+2man+1=m+3，两

13、式相减得(3+m)an+1=2man， 因为m0且m-3， 所以 所以an是等比数列. 因为b1=a1=1，q=f(m)= 所以nN*且n2时， 所以 是以1为首项， 为公差的等差数列.,【延伸探究】题(2)中若m=1试求an的前n项和. 【解析】若m=1则 由已知得(3-1)S1+2a1=4， 所以a1=1， 即数列an是以1为首项为 公比的等比数列. =2-21-n.,【方法技巧】综合法证明数列问题的依据,【变式训练】在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n. (1)设bn= ，求证数列bn是等差数列. (2)求数列an的前n项和Sn. 【解题指南】用综合法证明有关数列的问题，同时要

14、注意理解等差数列的含义.,【解析】(1)因为an+1=2an+2n， 所以 因为bn= 所以bn+1= =bn+1， 所以数列bn是等差数列，其中b1=1，公差为1， 所以bn=n，an=n2n-1.,(2)因为Sn=120+221+(n-1)2n-2+n2n-1， 所以2Sn=121+222+(n-1)2n-1+n2n， 两式相减得Sn=n2n-120-121-12n-1 =n2n-2n+1=2n(n-1)+1.,【补偿训练】在等比数列an中，首项a11，公比q0，nN，且n1.求证lgan+1lgan-1(lgan)2.,【证明】因为an为等比数列， 所以 =an-1an+1(n1). 又

15、因为a11，公比q0，nN，且n1， 所以lgan-1lgan+1 所以lgan+1lgan-1(lgan)2.,【规范解答】综合法在几何证明中的应用 【典例】(12分)如图，在四棱锥O-ABCD中， 底面ABCD为菱形，OA平面ABCD，E为OA的 中点，F为BC的中点，求证: (1)平面BDO平面ACO. (2)EF平面OCD.,【审题】抓信息，找思路,【悟题】提措施，导方向 1.关注题中的条件 证明时要注意应用题中的条件，注意隐含条件的挖掘，如果漏掉某一条件或对某一条件挖掘不深则会导致题目无法证明，如本例中ABCD为菱形的条件. 2.注重定理的应用 几何证明的前提是熟练地应用各个判定定理及性质定理，注意各个定理的应用格式，掌握常见的辅助线的作法，寻找好定理所需的条件，如本例中构造平行四边形说明线线平行.,【类题试解】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互 相垂直，CEAC，EFAC，AB= ，CE=EF=1. (1)求证:AF平面BDE. (2)求证:CF平面BDE.,【证明】(1)