数字测图的数学基础

1、第三章 数字测图的数学基础,3.1 常用坐标系及其转换,一、测量坐标系概述,坐标参考系统,天球坐标系,地球坐标系,:研究天体和卫星的定位与运动,:研究地球上物体的定位与运动,我国采用的参考椭球,解放前海福特椭球等 解放后1954年北京坐标系：前苏联克拉索夫斯基椭球 1980年国家大地坐标系：国际75椭球（IAG1975推荐值） 目前两个坐标系并行使用,11954年北京坐标系 克拉索夫斯基椭球 椭球定向不准确，大地水准面差距西高东低。 该坐标系统是经过局部分区平差得到的。,(一)不同基准的坐标系统(坐标原点，指向，椭球参数）,2.1980年国家大地坐标系 采用参考椭球IAG-75国际椭球， 椭球

2、的短轴平行于地球的自转轴, 并将大地原点确定在我国中部陕西省泾阳县永乐镇。 高程系统以1956年黄海平均海水面为高程起算基准。,3. 中国地心坐标系统CGCS2000,4. WGS-84坐标系,5. 站心坐标系：坐标转换的过渡坐标系。工程上在小范围内有时也直接采用站心坐标系。,（二）同一基准中几种常用坐标系,1.空间直角坐标系 2.大地坐标系 3.高斯平面直角坐标系 4.平面直角坐标系,三个坐标原点平移参数 三个坐标轴旋转参数 一个尺度变换参数,二、测量坐标的转换,（一）不同基准之间坐标转换,布尔莎模型：,3个旋转角通常为小角度，称为欧勒角。令,其中：,在作业中，一般把既有A坐标系的坐标，又有

3、B坐标系的坐标的点叫做公共点。转换参数就是根据坐标系的公共点按最小二乘原理来确定的。,（二）同一基准内坐标的相互转换,卯酉圈的曲率半径,1.空间直角坐标系与大地坐标系间的转换,（1）大地坐标系向空间直角坐标系的转换,法截面、法截线包含某点法线的平面称为法截面，法截面与椭球面的交线称为法截线。,1.椭球面上的线和圈,子午圈包含短轴的平面与椭球面的截线；亦称经圈，经线，子午线。,平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线；亦称纬圈、纬线。最大的平行圈，即过椭球中心垂直于短轴的平面与椭球面的交线，称为赤道。,卯酉圈与某点子午面正交的法截面在椭球上的截线。,N,S,子,午,线,平,行,圈,赤道,T,法,线,

4、法,截,线,（2）空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换,在采用上式进行转换时，大地纬度B需要用迭代的方法求解。当两次迭代结果之差时，就得到了B。然后就可确定H 。,.大地坐标系与高斯平面直角坐标系间的转换,t = tan B,l = L-Lo，,式中：,1. 测量坐标与屏幕坐标之间的变换,屏幕坐标系的坐标单位为像素，其取值一般只能是0和正整数，具体取值范围与屏幕分辨率有关。,三、测量坐标系到屏幕坐标系和绘图坐标系的转换,如图所示，XOY是测量坐标系，xoy是屏幕坐标系。,若屏幕水平方向和垂直方向长度分别为 sx 和 sy ，相应的实地长度分别为 SY 和 SX 屏幕左下角的测量坐标为（X0，Y

5、0），任一点P的测量坐标（X，Y）和相应的屏幕坐标（x，y）之间存在如下关系：,其中，kx= sx / SY和ky= sy / SX分别为x方向和y方向的比例系数。,其中，KX=SX /sy和KY=SY /sx分别为X方向和Y方向的比例系数。,（1）,（2）,1. 定倍数缩放显示 设所选点在原窗口中的坐标为(xm，ym)，其相应的测量坐标为(XM，YM)，缩放倍数为k，则原窗口中任一点P的坐标(x，y)与缩放后窗口中的坐标(x，y)之间存在如下关系：,（3）,（二）图形缩放时的坐标变换,缩放后窗口中的坐标(x，y)与相应测量 坐标(X，Y)之间存在如下关系：,(4),(5),(6),2.开窗放

6、大显示,其中：,和,分别为x方向和y方向上的放大倍数。,与相应测量坐标之间的关系为：,（7）,（8）,(三)测量坐标系到绘图仪坐标系的换算,如图所示，XOY 为测量坐标系，xoy 为绘图仪坐标系，A（X1，Y1）、B(X2，Y2)、C(X3，Y3)、和D(X4，Y4)是4个图廓点的测量坐标，则图幅中心的测量坐标为：,绘图仪坐标系的坐标单位为绘图仪的脉冲当量，一个脉冲当量等于0.025mm（图上距离）。,图幅中任一点P 的测量坐标与相应的绘图仪坐标存在如下关系：,式中： x、yP点的绘图仪坐标； X、YP点的测量坐标； M测图比例尺分母。,(10),（9）,基本思想：根据线段两端点的位置判断该直

7、线段是否与裁剪区域边界相交，如果相交，则计算出交点位置，并用裁剪区域内的线段部分取代原线段。,3.1 图形裁剪,实质：一种保留给定区域内的图形而除掉区域外图形的一种图形处理方法。,一、直线段的裁剪,若yymax,则C1=1,表示P点位于上边界上方； 若yymin,则C2=1,表示P点位于下边界下方； 若xxmax则C3=1,表示P点位于右边界右方； 若x xmin,则C4=1,表示P点位于左边界左方。,四位编码线段裁剪方法,运算相乘规则： 00=0, 01=0, 10=0, 11=1.,如图所示，线段相对于矩形裁剪区域的位置，存在四种可能的情况；,(1)线段两端点的四位编码均为0000，则该线

8、段位于矩形裁剪窗口内。,(2)线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果不为0。此时该线段位于矩形裁剪区域之外。,(3)线段一个端点的四位编码为0000，另一端点的四位编码不为0000。此时2个端点位于裁剪区域内外，则需要计算与边界的交点。,(4)线段两端点的四位编码均不为0000，且逻辑相乘结果为0，此时该线段与裁剪区域边界无交点或有两个交点。,设线段两端点的坐标分别为（x1，y1）和（x2，y2），则线段与裁剪区域边界的交点为：,下边界交点：,右边界交点：,左边界交点：,（12）,（13）,（14）,（15）,上边界交点：,线段与裁剪区域存在交点的判别准则为：,（11）,二、多边形

9、的裁剪,三、曲线的裁剪,用直线段逼近,3.3 规则图形的正形化处理,在外业数据采集过程中，因棱镜所放位置、仪器误差以及个别人为因素等，势必引起碎部点的点位误差，从而使得许多规则图形，如矩形房屋、平行铁路、圆曲线等测绘成图后的形状有一定的变形。,规则图形的几何纠正：在计算机制图时，常以规则地物应满足的几何条件为基础，运用最小二乘原理对规则地物的测量数据进行平差处理，用处理后的数据作为规则地物计算机制图数据进行制图，以确保制图结果的美观和制图精度。,（1）过C、D两点作垂直于AB直线垂足交点m、n。 （2）在Bb方向线上，过C、D两点与Bb直线的垂足交点为p、q。 （3）过C可确定D点的位置。 （

10、4） 计算坐标改正数的平方和。 （5） 依次分别以CD、DC、DA为起始边进行直角化调整，取坐标改正数平方和最小的坐标作为直角化处理的最优结果。,一、直角化处理方法,1.采用比较法进行直角化处理,2. 采用最小二乘法进行直角化处理,如图，测量已知角，则：,设 ，并令,则可得到条件方程如下：,当 时，表示jk 和ji边构成直角条件； 当 时，表示jk 和 ji 为一条直线，即构成直线条件。,直角化处理,设 ， ， ， ， 。,二、圆形的正形化处理,对条件平差方程按最小二乘原理进行平差处理，然后按照平差后的坐标值进行图形绘制，就可实现圆曲线的几何纠正。,线性化处理得：,在测量圆形构筑物时，测量圆周

11、上三个点可以唯一确定一个圆，当测量点多于3个时，圆曲线上的测量点应满足圆曲线方程：,3.4 曲线的光滑,曲线光滑也就是曲线拟合或内插，即将曲线看成是由一系列的点列连接而成的，只要能根据已知点内插出这些点列的位置，并确保在这些点处具有连续的一阶导数或连续的二阶导数，就可保证得到的曲线是光滑的。,一、概述,曲线的光滑处理方法有两种类型:,一种是光滑后的曲线不一定通过已知点称为曲线拟合； 另一种是光滑后的曲线一定通过已知节点称为曲线内插。,线性迭代的缺点：迭代结果会造成曲线偏离全部特征点，向内收缩，在曲线挠度大时愈加明显，使曲线定位精度较低。,二、线性迭代法,拟合的曲线不通过给定的已知点。,优点：图

12、形向内收缩可以确保等高线即使在较密集的情况下也不会相交，且计算量小。当曲线定位精度要求较低时，可采用线性迭代。,三、分段三次多项式插值法,3号点处的导数的计算公式:,在曲线上每两个数据点之间（即每条折线段上）建立起一条三次曲线，要求整条曲线上具有连续的一阶导数来保证曲线的光滑性。每个节点上的一阶导数是以该点为中心，加上前后各相邻的两点（共五个点）共同确定的，因此又称五点光滑法。,（1）,补点的方法：,又设,从而就能相应地确定y4和y5,于是有：,要求端点( x3，y3 )和其相邻的二个数据点( x2，y2 )、( x1，y1 )以及将要补足的二个点( x4，y4 )、( x5，y5 )都在抛物

13、上，这样可以满足,曲线的原有趋势。,按顺序过相邻二点作一条三次曲线的方程：,确定a0，a1，a2，a3的条件是： （1）点（ xi , yi）和（xi+1 , yi+1）通过该曲线； （2）根据公式（1）确定的在点（xi,yi）和（xi+1,yi+1）处的导数ti和ti+1,四、张力样条函数插值法,张力样条函数是描述样条曲线的一种函数。 它的主要特征是在一般的三次样条函数中引入一个张力系数 。 当0时，张力样条函数就等同于三次样条函数；当时，张力样条函数就退化为分段线性函数，即相邻节点之间以直线连接。 可以选择适当的张力系数 ，以改变曲线的松紧程度，使曲线的走向更加合理和美观。,Cass中的绘曲线方法,不拟合：绘制出来的等高线是折线，是分析三角网得来的最原始图形，在此基础上进行拟合就可得到更光滑的等高线。 张力样条拟合：这时