高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 空间向量在立体几何中的应用 3.2.5 距离素材2 新人教B版选修2-1（通用）

1、3.2.5 距离课堂导学三点剖析一、由定义求距离【例1】 棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面是PAB，PAC都垂直于底面，另两侧面与底面成45角，M、N分别为BC、CD的中点，最长的侧棱为15 cm.求：（1）棱锥的高；（2）底面中心O到平面PMN的距离.解析：棱锥的概念在本题求解中并无作用，重点应分析和利用好给出的面面关系. (1)设高为h,由平面PAB，平面PAC都垂直于底面，得PA底面AC.又PBA=45，PA=AB=h,AC=h.由PA2+AC2=PC2及PC=15，得PA=5（cm）;(2)BDAC，BDPA，zBD平面PAQ.又MNBD，MN平面PAQ，平面PAQ平面PMN.做O

2、HPQ于H，则OH之长即为所求.做AGPQ于G.在RtPAQ中，AQ=AC=h,PQ=.AG= h.再由，得OH=AG=h=(cm).温馨提示 由于在棱锥中，随处可以找到解题必需的三角形，因此平面几何知识和解三角形的知识往往成为正确解题的关键.二、通过转化求距离【例2】如左下图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面AB1D1与平面C1BD的距离. 解：如右上图，可证得A1C平面AB1D1，A1C面C1BD.设A1C和平面AB1D1及平面C1BD分别交于P、Q两点.则PQ就是两平行平面AB1D1和平面C1BD的公垂线段.连结A1C1交B1D1于点O1，连结AC交BD于点O，由对

3、角面A1C1CA与两平行平面AB1D1和平面C1BD分别相交于AO1和C1O知AO1OC1.由正方体的特性易计算对角面A1C1CA中，O1A1=a,A1A=a,A1C=a,于是在RtAA1O1中，AO1=a.由面积关系得A1P=.同理可求得CQ=a,PQ=A1C-2A1P=a-a=a.温馨提示 本例应用两方面的转化，其一是空间距离的转化，其二是空间问题转化为平面问题，转化为平面问题后，为使思路清晰，可画出辅助图形.这都是我们研究立体问题的基本思想方法，注意体会学习应用.另外本例在转化为对角面中计算问题后，也可以用三角形的中位线的性质得A1P=PQ，CQ=PQ知A1P=PQ=QC，即先证明P、Q

4、两点三等分对角线A1C后再计算.该例还有多种解法.三、利用向量求距离【例3】如下图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.(1)求证：平面B1AD1平面BC1D；（2）求平面B1AD1与平面BC1D间的距离.(1)证明：由正棱柱的性质知B1BDD1与AB1C1D分别为矩形，AB1DC1，D1B1DB，故面B1AD1BC1D.(2)解：由两平行平面间距离的定义知，面B1AD1与面BC1D间的距离等于B1到面BC1D的距离.设B1M面BC1D，M为垂足，且B1M延长后交面ABCD于N，以，分别为x,y,z轴的非负轴建立空间直角坐标系，则B1（a,0,a）,设N（x,y,0）,=(x-a,

5、y,-a),=(-a,a,0),=(0,a,a).由，得=-a(x-a)+ay=0. 由，得=ay-a2=0. 解得y=a，x=2a.于是=（a,a,-a）.记,=,则|B1M|=|cos.由B1B=|cos,|=33a.故点B1到面BDC1的距离为a，亦即所求距离为a.温馨提示 利用向量方法求解的思路有两个：一是设公垂线段的向量坐标，借助于垂直将此向量坐标确定出来；二是求与公垂线平行的向量n,然后求端点在两异面直线上的向量在n上的射影即可.各个击破类题演练 1 设AC、BD分别是夹在两个平行平面、间的两条线段，且AC=13 cm，BD=15 cm，AC、BD在平面上的射影长的和是14 cm，

6、求AC、BD分别在平面上的射影长以及平面和平面间的距离.解：过A、B分别作AA1,BB1,A1、B1为垂足，连结A1C、B1D，则A1C、B1D为AC和BD在平面内的射影，且AA1C、BB1D均为直角.，AA1,BB1,AA1(或BB1)就是与的公垂线段.设AA1=BB1=z,A1C=x,B1D=y.由题意得解得AC、BD在的射影长分别是5 cm、9 cm；两平面、间距离为12 cm.变式提升 1 如下图，已知长方体ABCD-ABCD中，棱AA=5,AB=12,求直线BC和平面ABCD的距离.解：BCBC,BC平面ABCD，BC平面ABCD.于是BC到平面ABCD的距离等于点B到平面ABCD的

7、距离.过点B在平面ABBA中作BEAB于点E.BC平面ABBA，BE平面ABBA，BEBC.又BEAB，而ABBC=B,BE平面ABCD.即BE为B点到平面ABCD的距离.在RtABB中，BB=5，AB=12，AB=13.由面积关系ABBB=BEAB，BE=.所以BC和平面ABCD的距离为6013.类题演练 2 如右图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点.求点D到平面B1EF的距离.解：由于平面B1EF的法向量n1=(2,2,-1),又DB1=（a,a,a）.点D到平面B1EF的距离d=a.点D到平面B1EF的距离为a.变式提升 2 如右图，四棱锥P

8、-ABCD的底面是边长为a的菱形，B=60，PC面ABCD，PC=a,E是PA的中点.求E到面PBC的距离.解：EOPC，PC面PBC，EO面PBC，所以点O到面PBC的距离等于E的面PBC的距离，作OFBC于F.因为PC面ABCD，PC面PBC，所以面PBC面ABCD，于是OF面PBC，OF的长等于O到面PBC的距离.由条件可得OB=a,OF=a=a,所以E到面PBC的距离为a.类题演练 3 如下图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a,AD=b,AA1=c,求顶点C到体对角线AC1的距离.解：分别以AB、AD、AA1为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，记点C在直线AC1的射影为G，则=（a,b,c）,=(0,0,c).由数量积的几何意义得| |=|=|=.在RtGCC1中，|=c,这就是顶点C到对角线AC1的距离.变式提升 3 如右图，在长方体