矩阵应用举例

1、第3.3节 应用举例,转置伴随阵逆阵公式,主要内容,克拉默法则,概述,对任一n 阶矩阵 A= aij ，用 adjA 记与,对任一 n 阶矩阵 A，可用其元之代数余子 式值构成一个被称为 A 的转置伴随阵 (adjugate matrix) 的 n 阶矩阵,一 转置伴随阵逆阵公式,1 转置伴随阵,定义 4,之同阶的转置伴随矩阵 ，有,其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式的值,(3-12),对任一n 阶矩阵 A= aij ，用 adjA 记与,定义 4,之同阶的转置伴随矩阵 ，有,其中 Aij 是元 aij 在 A 中的代数余子式的值,性质,定理 9 设 A 是 n 阶矩阵， ad

2、jA 为其转置伴随 矩阵，则有,(3-13),(3-13),或记作,例 11 （续）,A adjA,可逆阵及其逆矩阵是矩阵论中的重要基础概 念 ,2 逆矩阵公式,利用行列式可给出判别可逆阵的一个简单的条,件,定理 10 n 阶矩阵A为可逆阵的充分必要条件是 detA ，,(3-14),此时有逆阵公式,伴随矩阵的性质：设A,B都是n阶可逆方阵，则,例1 求方阵 的逆矩阵.,解,同理可得,同理可得,故,例1 求方阵 的逆矩阵.,从该题可知，通过逆阵公式（即伴随矩阵的方法）来求一个 矩阵的逆阵，计算量很大，不是简便快捷的方法. 真正有效快捷 的方法应该是用前面介绍的初等变换的方法来求逆阵（如下）.,

3、例 2 判断矩阵,是否可逆？若可逆则求出 A-1 ,解,现在讨论 n n 线性代数方程组,二 克拉默法则,(3-15),解的公式,用消元法解二元线性方程组,讨论二元线性方程组的解：,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,则它的解为：,注意 分母都为原方程组的系数行列式.,（1）用二阶行列式表示二元线性方程组的解,则三元线性方程组的解为:,如果三元线性方程组,的系数行列式,（2）用三阶行列式表示三元线性方程组的解,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,问题：以上规律对n阶线性方程组是否成立？,则 的解是否可以表示为：,证明,再把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是，,当 时,

4、方程组 有惟一的解, 当系数行列式时，有惟一解,定理 10 （克拉默法则） 对 n n 线性代数方程组,(3-17),从这个定理可得关于 n n 齐次线性代数方程组的 两个明显推论,定理的优点：对n阶线性方程组，统一给出解的表达式. 缺点：系数阵必须是方阵，且其行列式不能为零.,思考： 若系数阵不是方阵，或其行列式为零的方程组如何求解？,推论 1 对于 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0,当 det A时，只有一组零解（未知数全取零值 的解）,齐次方程组的零解也称为平凡解，,推论 2 若 n n 齐次线性代数方程组 Ax = 0 有,非零解，则必 det A 0,xi 不全为零的那种解为

5、 非平凡解 或 非零解,而称各个,例1 用克拉默法则解方程组,解,可见，通过克拉默法则求解方程组要计算n+1个n阶的行列式，计算量大，很费时. 而且，当系数矩阵不是方阵时，该方法不能用. 所以，克拉默法则仅在理论上给出了方程组解的一般表达式，实际上求解线性方程组是用行初等变换方法求解.,例 2 讨论线性代数方程组,的解,解,作业,P191 练习6 P192 练习9 ,14 194 5,用克拉默法则解一个 nn 线性代数方程组,这毫不影响克拉默法则的重要性及其理论价值,需要计算 (n +1) 个 n 阶行列式，,一般地讲，其计,算量大大超过高斯若尔当消元法的计算量,但,例 14 在平面上给出不共

6、线的三个点 Pi ( xi , y i ) i =1, 2, 3, 且 x1 , x2 , x3 互不相同，,的一条抛物线，要求其对称轴平行于 y 轴,求通过这三点,行列式是非常有用的工具，现仅就其对线性 代数方程组、矩阵、向量的应用作一概述，供以 后学习时参考,三 概述,1 n n 线性代数方程组中的应用,描述结论：,Ax = 0,有非平凡解的充要条件是 det A 0,( 1 ) 若 n n 齐次线性代数方程组,这个结论在线性常微分方程中的一个典型应 用是：,线性相关的充要条件是其朗斯基（Wronski）行 列式为零，,一组 n 个函数,即,( 2 ) 若 n n 非齐次线性代数方程组 A

7、x = b,有惟一解的充要条件是 det A 0,这个结论在多元函数隐函数存在定理中用到,其时有雅可比行列式（Jacobian ）不为零的条件 就因要用此结论,给出公式：,在 det A 0 时有惟一解，,(3-17),()对 n n 线性代数方程组 Ax = b,并成立,对任一 n 阶矩阵 A = aij ， 若记其任一元 aij 的代数余子式为 Aij ,2 矩阵中的应用,称其一切 非零子式的最高阶数为 A 的秩 ( rank ) 记作 r (A) 或秩A,定义概念：,（）转置伴随阵,符号 adj 用了adjugate 的前三个字母,则称n 阶矩,阵 AijT为 A 的转置伴随阵，记作ad

8、j A,这里的,（）矩阵的秩,对任一 mn 矩阵 A,对任一 n 阶矩阵 A， 称 det( A I ) 为 A 的特征多项式 (characteristic polynomial )，,（）矩阵的特征多项式,为 A 的特征值 (characteristic value).,这是 的一个 n 次多项式,det ( A I ) ,为 A 的特征方程，,其根（即特征多项式的零点）,描述结论：,并称,要条件是 det A,（ 1 ） n 阶矩阵 A 为非退化阵的充,（ 2 ）若 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值为,则有,(6-4),（ 3 ） n 阶实对称矩阵 A 是正定矩阵的充要条件 是其各阶前主子式的值皆正，,(6-31),给出公式：,(3-14),公式,即,（） 对 n 阶非退化阵 A，有逆阵,3 向量中的应用,（ 1 ） n 个 n 维向量 a1 , a2 , , an 线性无关 （即向量形式的 nn 齐次线性代数方程组 x1 a1 + x2 a2+ xn an = 0 只有零解或矩阵 A 满秩）