2011走向高考,贾凤山,高中总复习,第3篇2-4.ppt

1、第四讲圆锥曲线的综合问题(理),重点难点 重点：直线与圆锥曲线位置关系的判定，弦长与距离的求法 难点：直线与圆锥曲线位置关系的判定、弦长与中点弦问题,知识归纳 1(1)直线与圆、椭圆的方程联立后，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，可据判别式来讨论交点个数.,(2)直线与双曲线、抛物线的方程联立后，消元得到一元二次方程可仿上讨论，但应特别注意： 平行于抛物线的轴的直线与抛物线相交，有且仅有一个交点 平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，但也不是相切 上述两种情形联立方程组消元后，二次项系数为0，即只能得到一个一次方程,2直线与圆锥曲线相交弦长问题 (1)斜率为k的直

2、线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|或|P1P2|，其中求|x2x1|与|y2y1|时，通常作如下变形|x2x1| |y2y1| ，使用韦达定理即可解决 (2)当斜率k不存在时，直线为xm的形式，可直接代入求出交点的纵坐标y1、y2得弦长|y1y2|.,误区警示 1如果在设直线方程时涉及斜率，要注意斜率不存在的情形为了避免讨论，过焦点F(c,0)的直线，可设为xmyc. 于x的方程ax2bxc0，这时要考虑a0和a0两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况要考虑全面，除a0，0外，当直线与双曲线的渐近线平行时，只有一个交点；当直线与抛物线的

3、对称轴平行时，只有一个交点,一、向量法 向量的坐标可以用其起点、终点的坐标表示，因此向量与解析几何保持着天然的联系通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题向量化，利用向量的共线、垂直、夹角、距离等公式巧妙地解决解析几何问题 例1(文)如图所示，已知P(2,1)，过点P的直线与圆O：x2y225交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程,当M与O、P重合时，点O(0,0)、P(2,1)符合上述方程. 点M的轨迹方程为x2y22xy0.,(理)如图所示，给出定点A(a,0)(a0)和直线l：x1. B是直线l上的动点，BOA的平分线交AB于点C. 求点C的轨迹方程,(2)代入(1)得(1a)x22ax

4、(1a)y20(0xa) 当b0时，AOB，点C(0,0)也适合上式. 综上可知点C的轨迹方程是 (1a)x22ax(1a)y20(0 xa),二、涉及到直线被圆锥曲线截得弦的中点问题(即中点弦问题)时，常用根与系数的关系及点差法求解 例2P(1,1)为椭圆 1内的一定点，过P点引一弦，与椭圆相交于A、B两点，且P恰好为弦AB的中点，如图所示，求弦AB所在的直线方程及弦AB的长度,解析：设弦AB所在的直线方程为 y1k(x1)，A、B两点坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，则 得： (x1x2)(x1x2)2(y1y2)(y1y2)0. P(1,1)为弦AB的中点， x1x22，y1y

5、22.,所求直线的方程为 即x2y30. 将其代入椭圆方程整理得，6y212y50. 根据弦长公式，有,点评：点差法的一个基本步骤是：点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在圆锥曲线f(xy)0上，f(x1，y1)0，f(x2，y2)0，两式相减f(x1，y1)f(x2，y2)0，然后变形构造出 及x1x2和y1y2，再结合已知条件求解,三、要重视解题过程中思想方法的提炼及解题规律的总结 1方程思想 解析几何题大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此直线与圆锥曲线相交的弦长问题常归纳为对方程解的讨论利用韦达定理进行整体处理，以简化解题运算量,2函数思想 对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会

6、引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段的长度及a、b、c、e、p之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效,3坐标法 坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练 4对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，所以可使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决 5数形结合 解析几何是数形结合的曲范，解决解析几何问题应充分利用图形的直观和曲线的几何性质，才能简化解答过程,6参数思想 大多解析几何问题，在解题活动中可先引入适当的参数(如斜率k，点的坐标，圆锥曲线方程中的系数等)，把所研究问题转化为参数的函数或不等式、方程等来解决,例1已知直

7、线l1为曲线yx2x2在点(1,0)处的切线. l2为该曲线的另一条切线，且l1l2. (1)求直线l2的方程； (2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积,解析：(1)y2x1.l1的斜率k13 直线l1的方程为y3x3. 设直线l2过曲线yx2x2上的点B(b，b2b2)， 则l2的方程为y(2b1)xb22. 因为l1l2，则有 所以直线l2的方程为,所以直线l1和l2的交点的坐标为 . l1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、 . 所以所求三角形的面积S .,例2已知椭圆的焦点为F1(3,0)、F2(3,0)，且与直线xy90有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程 解析：解法1

8、：设椭圆方程为 与直线xy90联立并消去y得： (2a29)x218a2x90a2a40， 根据题意，(18a2)24(2a29)(90a2a4)0， 解得a245或a29. a29，a245，amin 此时椭圆的方程为 .,解法2：设直线与椭圆公共点为P，则|PF1|PF2|2a，由长轴最短知，问题可转化为在直线xy90上求一点P，使P到两定点F1、F2距离之和为最小 点F1(3,0)关于直线xy90的对称点为Q(9，6)，则F2Q与直线xy90的交点即为P点，且2a|PF1|PF2|PQ|PF2|QF2|6 ， a3 . 又c3，b2a2c236，椭圆方程为 1.,已知双曲线焦点F1( ，

9、0)，F2( ，0)且与直线xy10相交则实轴最长的双曲线方程为_ 解析：设直线与双曲线交点为P，则|PF1|PF2|2a，由实轴最短知，问题转化为在直线xy10上求一点P，使P到两定点F1、F2距离之差最大，点F1( ，0)关于直线xy10对称点为M(1,1 )，则直线F2M与直线xy10交点即为P点，且2a|PF1|PF2|,例3若抛物线C：yax21(a0)上有不同两点关于直线l：yx0对称，则实数a的取值范围是_ 解析：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线C上关于直线l对称的两点(x1x2)，直线AB的方程为yxb. x1x2，方程有两个不等实数根 14a(1b)0. 又设A

10、B的中点为M(x0，y0)，由得,例4如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状,(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？ (2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？ (半个椭圆的面积公式为 ，柱体体积为：底面积乘以高. 本题结果均精确到0.1米),解析：(1)如图建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆 方程为 将bh6与点P坐标代入椭圆方程得，a ， 此时l2a 33.3.因此隧道的拱宽约为33.3米,例5已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在

11、x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， 与a(3，1)共线 (1)求椭圆的离心率； (2)设M为椭圆上任意一点，且(，R)，证明22为定值,x1x23y1y2x1x23(x1c)(x2c),已知双曲线x2y22的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于A、B两点，点C的坐标是(1,0) (1)证明 为常数； (2)若动点M满足 (其中O为坐标原点)，求点M的轨迹方程,解析：由条件知F(2,0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2) (1)当AB与x轴垂直时，由题意得点A(2， )、B(2， 当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是yk(x2)(k1)代入x2y22得 (1k

12、2)x24k2x(4k22)0. 则x1、x2是上述方程的两个实根， 于是 (x11)(x21)y1y2,(x11)(x21)k2(x12)(x22) (k21)x1x2(2k21)(x1x2)4k21,又因为A、B两点在双曲线上，所以xy2，xy2，两式相减得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y2y2)， 即(x1x2)(x2)(y1y2)y. 将y1y2 (x1x2)代入上式，化简得x2y24. 当AB与x轴垂直时，x1x22，求得M(2,0)，也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是x2y24.,一、选择题 1(09全国)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A、B两点，

13、F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k() 答案D,解析过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA1AF，BB1BF， 又2|BF|AF|， |AA1|2|BB1|， 即B为AC的中点 从而yA2yB，,2(09天津)设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|2，则BCF与ACF的面积之比 () 答案A,解析如图过A、B作准线l：x 的垂线，垂足分别为A1，B1，由于F到直线AB的距离为定值,3(山东郓城)已知对kR，直线ykx10与椭圆 1恒有公共点，则实数m的取值范围是() A(0,1) B(0,5) C1,5)(5，) D1,5) 答案C 解析直线ykx1过定点(0,1)，只要(0,1)在椭圆 1内部即可，从而m1. 又因为椭圆 1中m5，m1,5)(5，),二、填空题