中科院计算流体力学最新讲义CFD2011-第4讲-差分方法2.ppt

1、计算流体力学讲义2011 第四讲 有限差分法（2） 李新亮 ；力学所主楼219； 82543801,知识点： 离散误差的Fourier分析; 间断周围数值振荡的原因、群速度控制（GVC）； 模型方程向N-S方程的推广： 流通矢量分裂,1,讲义、课件上传至 (流体中文网） - “流体论坛” -“ CFD基础理论 ” 下载地址2： http:/cid-,Copyright by Li Xinliang,Copyright by Li Xinliang,2,知识回顾,1. 有限差分基本原理,差商 - 微商,待定系数法,2. 基本概念,差分格式、截断误差、精度,差分方程、修正方程,显格式、隐格式,全离

2、散、半离散,守恒性、非守恒型,3. 相容性、稳定性; Lax等价定理,Copyright by Li Xinliang,3,4.1 差分格式的误差分析,概念澄清1： 精度 vs. 分辨率,描述 网格充分密集时差分格式的误差特性,描述网格有限的情况下，差分格式的误差特性,2 阶精度,误差,4阶精度,格式1,格式2,3阶精度,显然： 足够小的情况下， 格式1误差更小 并非足够小的情况下，格式2 有可能误差更小,精度特性,分辨率特性,Copyright by Li Xinliang,4,概念澄清2： 有效网格,目的： 计算差分 ，,Case 1,Case 2,网格点数增加了一倍， 但问题也复杂了一倍

3、,用同一差分格式计算，两种工况误差完全相同。,有效网格点数： 一个波长里面的网格点数 （PPW: Point per Wavelength),有效波数,10个点,20个点,1. 耗散与色散误差,5,Copyright by Li Xinliang,精确解,1阶迎风,2阶迎风,数值实验,时间推进： 3步TVD型Runge-Kutta, 且时间步长足够小（误差忽略） 空间离散： 1阶及2阶迎风格式 （20个网格点）,实验观察到的现象 两类误差： 振幅误差 相位误差 （波速误差）,Copyright by Li Xinliang,6,对以上“实验现象”进行理论分析,半离散分析： 假设时间推进是精确的

4、，仅分析空间离散带来的误差（难度小、常用） 全离散分析： 同时分析时、空离散的误差 （难度大）,考查问题：,实际上就是普通三角函数，采用复数形式仅仅是为了理论推导方便。 用实数形式 sin(kx), cos(kx)推导形式上略显繁琐。,精确解：,差分格式：,（1）,其他格式 ,假设对于：,有,隐含假设: 线性差分格式 非线性系统作用于单波，会产生多个谐波,（2）,差分没有误差,Copyright by Li Xinliang,7,令：,（1）式化为：,“半离散化”： 空间导数差分计算，时间方程（常微）精确计算,如果 ， 无误差,分析 （修正波数）与误差的关系,理想情况： 的误差导致解的幅值误差

5、 耗散误差 的误差导致解传播速度的误差 色散误差,假设对于：,有,反映了一个波内的点数。 PPW （波内的点数）=,Copyright by Li Xinliang,8,耗散、色散误差分别由修正波数 的实部和虚部决定。,关键参数： 修正波数,含义： 反应波数（谱）空间内差分的误差,任意函数：,定义：,求导数，精确解,差分解,Fourier 分析的任务 计算出 ，并考差其与 的逼近程度。,考察格式分辨率（resolution）的重要指标 精度： 反映 时的情况 分辨率：网格点数很少（例如波里面只有6个点）时的性能 对于多尺度问题，分辨率更重要。 牺牲精度，提高分辨率,优秀的差分格式，1个波长里面

6、6个点 即可,精度 分辨率,Copyright by Li Xinliang,9,如何计算修正波数？,定义：,方法1. 理论计算 根据差分具体表达式及定义计算,例1：,令,则：,于是：,1阶迎风,例2：,2阶迎风,Copyright by Li Xinliang,10,方法2： 数值计算,定义：,Step 1）选取计算域0,2p, 计算网格（例如64，128） Step 2）给定波数 k, 生成函数值 Step 3) 调用差分子程序，得到导数值 Step 4) 通过Fourier反变换，得到谱：,假设已有求差分的子程序（黑箱，已知是线性的）,线性 黑箱,强调：研究CFD本身，不能只使用理论手段

7、，还要用数值手段,根据修正波数的定义， 有,Step 5) 改变k的值，重复2-5， 得到 对于 的依赖关系。画图,非线性情况会产生高次谐波，造成 step 4 中隐含的假设无法成立 将Fourier分析手段拓展到非线性系统 需要研究的课题,隐含条件：只有波数为k的那个谱不为0 （线性系统）,Copyright by Li Xinliang,11,中心差分格式的色散特性 0： 精确解； 1 ： 4阶普通 2： 6阶普通； 3：4阶紧致 4： 6阶紧致； 5：6阶超紧致,迎风差分格式的色散特性 0： 精确解， 1： 2阶迎风 2： 5阶迎风偏心 3： 3阶迎风紧致 4： 5阶迎风紧致,每个波长里

8、面2个网格点， 谱方法的分辨率， 差分法分辨率的极限（只有无穷阶精度才能达到）,20阶超紧致格式 接近谱方法,Copyright by Li Xinliang,12,不同差分格式的色散误差曲线,结论： 要求分辨率相同的情况下， 采用高阶格式可放宽空间网格步长，从而减少计算量,重要方向： 高分辨率差分格式,0： 精确解 1： 2阶迎风 2: 3阶迎风 3： 3阶迎风紧致 4： 5阶迎风紧致,指定误差要求的情况下，不同差分格式能模拟的最大a (a 越大，所需网格越少）,附录： 部分差分格式,表中的迎风差分格式均针对 a0,当a0时， 需把下标的“j+k” 换成 “j-k” （例如把j+2 换成j-

9、2, 把j-1换成j+1); 并在表达式前加上“-”号。 例：,迎风偏斜格式： 上游的基架点更多些 （或上游权重更大）,13,Copyright by Li Xinliang, 4.2 数值解的群速度及间断处数值振荡来源,对于：,有,修正波数,数值解,色散误差： 数值解传播的速度与精确解不一致,数值解传播偏快,数值解传播偏慢,0： 精确解； 1： 2阶迎风 ； 2： 5阶迎风偏心 3： 3阶迎风紧致 ；4： 5阶迎风紧致,快格式(FST) ： 慢格式(SLW): 混合格式(MXD):,特点： 波数越高，误差越严重,1. 色散误差与群速度,14,Copyright by Li Xinliang,

10、t=0.5时刻的精确解及数值解,空间离散： 五种不同格式； 时间推进： 3阶Runge-Kutta,【数值实验】 波的传播问题,观察现象： 1） 高波数成分误差严重，低波数成分误差不明显； 2） 二阶Pade格式的解传播速度快于精确解，其余格式偏慢； 3）迎风型格式有耗散，尤其是二阶迎风格式；,概念： 群速度 波包传播的速度,15,Copyright by Li Xinliang,2. 间断附近数值振荡的来源,【数值实验】 间断的传播,计算域0,1; 计算网格点100 时间推进： 3阶Runge-Kutta 空间离散： 1） 二阶中心差分,2阶迎风及2阶中心格式的色散特性,2） 二阶迎风差分,

11、16,Copyright by Li Xinliang,2阶迎风,精确解,2阶中心,过激波数值振荡的根源 色散误差导致群速度不一致,快格式,慢格式,波前振荡,波后振荡,= + + + ,群速度控制的基本思路 （群速度控制 GVC: Fu ,举例：,分裂过程,耗散,如果差分格式无耗散（例如都用中心差分），则通量分裂不带来耗散。,=,+,向上平移,向下平移,分裂,差分格式,耗散,分裂后的流场越偏离原先流场，则总体耗散越大,精确满足，不引入误差！,如使用低精差分度格式， 则对分裂形式敏感 （推荐使用特征分裂） 如使用高精度格式（低耗散），则对分裂形式不敏感 （可使用逐点分裂）,30,Copyrigh

12、t by Li Xinliang,3. 特征重构方法,常系数方程组：,完全解耦,变系数情况 局部冻结系数,在基架点上系数 不变,计算：,在差分基架点上Aj 不变， 可按常矩阵处理,局部冻结系数,分别采用后差和前差,优点： 严格保证（局部）特征方向，数值解质量好； 缺点： 大量矩阵运算，计算量大。,31,Copyright by Li Xinliang,通常写成守恒型差分，计算,在基架点上系数 不变,具体步骤： 假设已知 U， 且针对模型方程（线性单波方程） 已构造出差分格式,（1）,1） 计算出,教材130页的公式(6.1.11-6.1.13), 式中用到各变量在j+1/2的值（例如 ） 可使

13、用j, j+1 点值的算术平均 （如 ） 或Roe平均 （教材6.4节）； 由 计算；方法很多，例如前面介绍的 或,32,Copyright by Li Xinliang,均可,2） 在网格基上计算,计算fj+1/2用到的点,注意，在该网格基上（例如k=j-1,j,j+1） 保持不变,例如：,3) 利用已构造好的差分格式，计算通量 4） 得到总通量,5） 计算差分 （j点处）,步骤的算法描述 （注意： 实际上是两重循环） do j=1,N do k=j-1,j+1 (网格基，可以是更多或更少点) enddo enddo do j=1,N enddo,需要多次矩阵运算，计算量大 守恒性好，耗散小

14、，数值解质量好,33,Copyright by Li Xinliang,作业题1： 构造高分辨率差分格式，并进行理论分析及数值实验,针对单波方程：,对于空间导数，构造出一种不超过6点格式；并进行Fourier误差分析，画出kr,ki的曲线。 要求：精度不限； 网格基架点数不超过6个； 能够分辨的波数范围尽量宽； （即kr,ki曲线近可能接近准确解） 给出差分的具体表达式， 画出kr,ki的曲线； 说明构造格式的阶数，并采用本PPT第5页的方法给出的精度验证；,形如：,另外，进行如下数值验证：,空间采用20个网格点，采用新构造的差分格式离散；时间推进采用3步Runge-Kutta方法，时间步长可

15、足够小（例如0.01）。给出t=20,50两个时刻的数值解，与精确解比较（画图），并给出数值解的L2模误差。,34,Copyright by Li Xinliang,提示： 1. 如不使用优化技术，则格式构造方法简单， Taylor展开后解代数方程组即可。 2. 建议尝试使用优化技术,例： 假设格式形式如下,如果要求其有5阶精度，则通过Taylor展开可得到6个方程，6个系数可直接解出。 我们要求其有4阶精度（当然3阶，2阶也可），于是Taylor展开只能提供5个方程。 6个未知数（a1-a6）， 5个方程； 有1个自由参数。 调整这个自由参数，使得kr,ki曲线最为理想。 如何调整？ 1)

16、可以人工调整，观察kr,ki曲线，选取满意的。 2）可自动调整，设立一个优化目标函数。 例如 调整自由参数，使得该目标函数取最大值。 思路：牺牲精度，提高分辨率,35,Copyright by Li Xinliang,作业题2 （选作题）： 构造更高分辨率的GVC格式,对于空间导数，构造出一种不超过6点的GVC格式。要求： a. 精度不限； b. 网格基架点数不超过6个； c. 求解模型方程,计算结果间断尽量保持“锐利”; 计算结果振荡尽量小。,振荡的定量判据： 总变差（Total Variation）： 间断“锐利”的定量判据： 间断区内的点数？ （自行设计）,给出差分格式的表达式、色散/耗散分析 （ki,kr曲线）； 给出模型方程t=0.2的结果（空间100个网格点，计算域0,1，时间推进可采用3阶Runge-Kutta方法）；与精确解及NND2a进行比较（画在同一张图上）,建议： 利用优化方法,36,Copyright by Li X