第三章薄板理论.ppt

1、August 22, 2020,1,第三章 薄板理论,August 22, 2020,2,第一节 薄板的基本概念及基本假定 平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板的中面，参考坐标系位于中面内。,August 22, 2020,3,August 22, 2020,4,研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相当小的平板，其定义范围一般为 0.01 0.2 以区别于薄膜与厚板。 平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径之

2、比在上述范围之内，即 0.01 0.2,August 22, 2020,5,（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移，即 ， 。 （2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 、 应等于零。 （3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不挤压，即垂直于板面的应力分量 和应变分量 略去不计。,上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。,弹性薄板小挠度理论的基本假设,August 22, 2020,6,第二节 圆板的轴对称问题 在化工设备中，应用最多的是受

3、轴对称载荷的圆形薄板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐标系（ 、 、 ）。,q,q,q,x,August 22, 2020,7,为了求得圆板在q(r) 作用下的各内力素，用相距d的两个圆柱面，夹角为d的两个径向平面，沿板厚截取一微小六面体abcd。 作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向弯矩； 作用在径向平面沿中面单位长度上的周向弯矩； 作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向剪力。,August 22, 2020,8,（一）平衡方程 由微元六面体的空间力系，根据平衡条件，可列出六个平衡方程，其中 自然满足，只能得到下列两个平衡方程,August 22, 2020,9,q,q,q,x,August

4、 22, 2020,10,q,q,x,August 22, 2020,11,沿z轴方向力的平衡方程 展开合并，略去高阶微量，得 即 （3-1） 沿x轴方向力矩的平衡方程 因为d 是个小角度， ，略去高阶微量， 即 （3-2）,August 22, 2020,12,（二）几何方程 圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点呈双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保持中性。,（a）圆板中面的变形 （b） （a）中部放大图 图3-3 受轴对称载荷圆板的几何变形,August 22, 2020,13,1中面变形 根据基本假设（1），变形后，中面成回转曲面且仍保持中性，中面

5、的径向应变和周向应变为零，即,August 22, 2020,14,2离中面距离为z处的变形 根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2平面均垂直于中性面，变形后为1-1 和2-2，仍保持平面且垂直于中面，只是分别转过了角度 和 。这里有两个方向的变形： （1）径向变形 变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr ，变形后微线段mn变为mn= 则离中面距离为z处的径向应变为 （b）,August 22, 2020,15,2）周向(环向)变形 变形前过m点的圆周，其周长为2 ，变形后此圆周为过m点的圆周，其周长为2 ，则离中面距离为 处的周向(环向)应变为（c） 将式（a）代入式（

6、b），（c），得 （3-3）,August 22, 2020,16,August 22, 2020,17,（三）物理方程 根据基本假设（3）， ，圆板上任意一点均处于二向应力状态。在平面应力状态下，由广义虎克定律，圆板轴对称问题的物理方程为 或(3-4) 式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。,August 22, 2020,18,板内二向应力 ， 均为 的函数，且沿板厚线性分布。在中性面 z = 0处， = =0；在板的上、下表面 = 处，两向应力分别达到最大值，其应力为 （3-5）,August 22, 2020,19,（四）圆板轴对称弯曲的挠度微分方程 微元体由取径向平面上中面线段ab，c

7、d及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长度。,August 22, 2020,20,在ac面上作用径向应力 ，离中性面为 处取微小条d ， 其上作用的力为 ，所引起的力矩 在ac面上作用的总力矩为 （f）,August 22, 2020,21,在cd面上作用环向应力 ，离中性面为 处的微小条dz 上作用的力为， 所引起的力矩, 为 在cd面上作用的总力矩为,August 22, 2020,22,（3-4）代入式（f），（g），并积分得 （3-6） 式中 为板的抗弯刚度。 比较式（3-）与式（3-6），可得 (3-7-a）,August 22, 2020,23,如图3-5所示板内应力分布，沿

8、板厚应力分量的最大值发生在上、下板面（ ）处，其值为 （3-7-b）,图3-5应力分布图,August 22, 2020,24,上式可改写为直接积分形式： （3-） 将平衡方程式（3-1）代入上式，得 （3-9） 或 （3-10） 上式为圆板轴对称弯曲的挠度微分方程.,August 22, 2020,25,August 22, 2020,26,圆板轴对称弯曲的小挠度微分方程,August 22, 2020,27,求解圆平板弯曲应力的基本步骤,August 22, 2020,28,承受均布载荷的圆平板，即 常数。取分离体，由静力平衡条件，可确定离板中心距离为r处圆柱形截面上的剪力 为 （3-11

9、） 代入式（3-8），得,二、受均布载荷圆平板的应力分析,August 22, 2020,29,经连续积分，得中面弯曲后转角和挠度的一般解为 （3-12-a） （3-12-b） 式中 均为积分常数，可由板的边界条件确定。,August 22, 2020,30,对于实心圆平板，在板中心 = 0处的挠度w为有限值，因此必须 ，则上述解为,C1, C3 由圆板周边条件确定。,(3-13),(3-14),August 22, 2020,31,（一）周边固支实心圆板 周边固支实心圆板，其边界条件为： ， = 0 ，w = 0 边界条件代入式（3-13） 联立求解上述二个方程，,August 22, 20

10、20,32,将 代入（3-13）式，得周边固支实心圆板在任意半径处的挠度和转角表达式 （3-15-a） （3-15-b） 由此可知，最大挠度发生在板中心 = 0处 （3-16）,August 22, 2020,33,将C1代入式（3-14），得周边固支实心圆板在任意半径处的弯矩表达式 （3-17） 将式（3-15）代入式（3-4），得周边固支实心圆板在任意半径处的应力表达式 （3-18）,August 22, 2020,34,由此，在板中心 r = 0处 在板边缘 处 可见，最大弯矩为板边缘处的径向弯矩，相应的最大应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即 （3-19） （3-20）,August

11、 22, 2020,35,周边固支圆平板应力分布,August 22, 2020,36,（二）周边简支实心圆板 周边简支实心圆板，其边界条件为： 代入（3-13），（3-14）式 联立求解上述二个方程，得,August 22, 2020,37,代入式（3-13），得周边简支实心圆板在任意半径r处的转角和挠度表达式 （3-21-a） （3-21-b） 显然，最大挠度仍发生在板中心 处 （3-22）,August 22, 2020,38,将C1代入式（3-14），得周边简支实心圆板在任意半径处的弯矩表达式 （3-23） 将式（-21）代入式（3-4），得周边简支实心圆板在任意半径处的应力表达式 （

12、3-24）,August 22, 2020,39,在板中心 处 在板边缘 处 可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即 （3-25） （3-26）,August 22, 2020,40,周边简支圆平板应力分布,August 22, 2020,41,对比,August 22, 2020,42,薄圆平板应力特点,板内为二向应力 、 ，平行于中面各层相互之间的正应力 及剪力 引起的剪应力 均可予以忽略。 正应力 、 沿板厚度呈直线分布，在板的上下表面有最大值，是纯弯曲应力。 应力沿半径的分布与周边支承方式有关，工程实际中的圆板周边支承是介于两者之间的形式。 薄板结构的最大弯曲应力 与 成正比

13、，而薄壳的最大拉（压）应力 与 成正比，故在相同 条件下，薄板所需厚度比薄壳为大。,August 22, 2020,43,三、承受轴对称载荷的环板 （一）内外边缘受均布弯矩的环板 环形板内外边缘承受均匀弯矩M1和M2。由于环板面上无分布载荷q(r)=0，则剪力Qr=0，因此挠度方程式 对此方程积分两次，得 （3-27-a）,August 22, 2020,44,再积分一次，得 （3-27-b） 将w的表达式代入式（3-6），得 （3-28） 式中均为积分常数 ，可由板的边界条件确定。,August 22, 2020,45,由图3-9所示外周边简支的圆环板，边界条件为 , 代入式（3-27）,

14、式（3-28） 联立求解上述方程组，解出积分常数为,August 22, 2020,46,积分常数代入式（3-27）, 式（3-28），可得环板转角、挠度和内力矩关系式 (3-29-a） (3-29-b) （3-30） 将式（3-30）代入式（3-7），可得环板应力分量表达式 （3-31),August 22, 2020,47,1仅作用内边缘力矩 ， 时 （3-32-a） （3-32-b） （3-33） （3-34）,August 22, 2020,48,2仅作用外边缘力矩 ， 时 （3-35-a） （3-35-b） （3-36） （3-37）,August 22, 2020,49,3若仅作用

15、外边缘力矩 ， 时，且 ，相当于周边简支受均布弯矩作用,August 22, 2020,50,（二）内边缘受均布横剪力的环板 如图3-11所示的环形板，内边缘受均匀横剪力 作用，设均布横剪力之总和为 ，板内任意半径 处的剪力 为 代入式（3-8），得,August 22, 2020,51,经连续积分，得中面弯曲后转角和挠度的一般解为 （3-41-a） （3-41-b） 代入式（3-6），有,(3-42),August 22, 2020,52,均为积分常数，可由下列边界条件确定 ， ， ， ， 代入式（3-41）, 式（3-42） 联立求解上述方程，可得,August 22, 2020,53,代

16、入式（3-41）, 式（3-42），得 （3-43-a） （3-43-b） （3-44-a） （3-44-b）,August 22, 2020,54,当孔半径 趋于零时， 也趋于零，则相当于实心圆板中心受集中载荷作用，如图-12所示，此时积分常数为 将代入式（3-41），得周边简支实心圆板中心受集中载荷作用挠度关系式 （3-45）,August 22, 2020,55,（三）用叠加法求环板的应力和变形 1沿外边缘简支，内边缘固支，受集中载荷作用的环板 如图3-13（a）所示，其受力可以看作图3-9和图3-11两种环板的叠加。,August 22, 2020,56,其中作用在环板内边缘上的均布剪力，其合力等于集中力 ，即 ；作用在环板内边缘上的弯矩 ，可由环板内边缘转角为零的条件决定。 当 时， （3-46） 式中 ， 表示在 处由 引起的转角； 表示在 处由 引起的转角。,August 22, 2020