6 1单因素一元方差分析一

1、单因素一元方差分析 方差分析是英计学家R.A.Fisher在20世纪20 年代提出的一种统计方法，它有着非常广泛的 应用。在生产实践和科学研究中，经常要研究 生产条件或实验条件的改变对产品的质量或产 量的影响。如在农业生产中，需要考虑品种、 施肥量、种植密度等因素对农作物收获量的影 响；又如某产品在不同的地区、不同的时期、， 采用不同的销售方式，其销售量是否有差异。 在诸多影响因素中，哪些是主要的，哪些是次 要的，以及主要因素处于何种状态时，才能使 农作物的产量和产品的销售量达到一个较高的 水平，这就是方差分析索要解决的问题。 方差分析按影响分析指标的因素(也可简单理解成自变量)个数的多少，分

2、为单因素方差分析、双因素方差分析、多因素方差分析。 方差分析按分析指标（也可简单称为因变量）的个数多少，分为一元方差分析（即ANOVA）、多元方差分析（即， MANOVA）. 多自变量多因变量的方差分析，可以简单称为多元方差分析，当然更精确的称为“X 因素Y元方差分析”，如二因素二元方差分析。 单因素一元方差分析：影响分析指标的因素只有一个，分析指标也是只有一个。 单因素一元方差分析 （1） MATLAB统计工具箱中提供了anova1函数， 用来作单因素一元方差分析，其调用格式如下： p=anova1(x) 根据样本观测值矩阵X进行单因素一元方差分析，检验矩阵X的各列所对应的总体是否具 有相同

3、的均值，原假设是X的各列所对应的总 体具有相同的均值。输出参数p是检验的p值， 对于给定的显著性水平，如果p=显著性水平， 则拒绝原假设，认为X的各列所对应的总体有 不完全相同的均值，否则接受原假设，认为X 的各列所对应的总体具有相同的均值。 anova1函数还生成2个图形：标准的单因一元方差分析表和箱线图。其中方差分析表把数据之间的差异分为两部分： 一.由于列均值之间的差异引起的变差（即组间变差） 二.由于每列数据与该列数据均值之间的差异引起的变差（即组内变差） 标准的单因素一元方差分析表有6列： 第一列为方差来源，方差来源有组间、组内和总计3种 第二列为各方差来源所对应的平方和（ss） 第

4、三列为各方差来源所对应的自由度（df） 第四列为各方差来源所对应的均方（MS），MS=ss/df 第五列为F检验统计量的观测值，它是组间均方与组内均方的比值 第六列为检验的p值，是根据F检验统计量的分布提出的。 在箱线图中，X的每一列对应一个箱线图， 从各个箱子中线之间的差异可以看出F检验统计量和检验的p值，较大的差异意为着较大的F值和较小的p值。 p=anova1(X,group) 当X是一个矩阵时，anova1函数会把X的每一列作为一个独立的组，检验各组所对应总体是否具有相同的均值。输入参数group 可以是字符串数组或字符串元胞数组，用来指定每组的组名，X的每一列对应一个组名称字符串，在

5、箱线图中，组名字符串被作为箱线图的标签。 p=anova1(X,group,displayopt) 通过displayopt参数指定是否显示方差分析表和箱线图，当displayopt参数设定为on（默认情况）时，显示方差分析表和箱线图；当displayopt参数设定为off时， 不显示方差分析表和箱线图。 p,table=anova1(.) 还返回元胞数组形式的方差分析表table（包含列标签和行标签） p,table,stats=anova1(.) 还返回一个结构体变量stats，用于进行后续的多重分析。anova1函数用来检验个总体是否具有相同的均值，当拒绝了原假设，认为各总体的均值不完全

6、相同时，通常还需要进行两两的比较检验，以确定哪些总体均值间的差异是显著的，这就是所谓的多重比较。 当anova1函数给出的结果拒绝了原假设，则 在后续的分析中，可以调用multcompare函数， 把stats作为它的输入，进行多重比较。 样本X满足方差分析的几个基本假定： 所有样本均来自正态总体； 这些正态总体具有相同的方差。 所以在方差分析之前要做正态性检验和方差齐次性检验。 例：现有一学校的6个学院69个班级共2077 名学生的数学成绩表成绩是否有显著性格， 现要分析不同学院的学生的差别。 第一步：正态性检验 在调用anova1函数做方差分析之前，应先 检验样本数据是否满足方差分析的基本

7、假定，即检验正态性和方差齐次性。第一步首先做正态性检验，调用lillietest函数检验6 个学院的学生的考试成绩是否服从正态分布，原假设是6个学院的学生的考试成绩服从正态分布，备择假设是不服从正态分布。 %读取文件数学成绩.xls中第一工作表中的数据x,y=xlsread(数学成绩.xls);%提取矩阵x中的第2列数据，即成绩数据score=x(:,2);%读取元胞数组y的第4列的第2行至最后一行数据，即2077名同学所在学院名称数据college=y(2:end,4);%读取矩阵x的第一列数据，即2077名学生所在学院的编号数据college_id=x(:,1); %调用lillietes

8、t函数分别对6个学院的成绩进行正态性检验for i=1:6scorei=score(college_id=i); %提取第i个学院的成绩数据h,p=lillietest(scorei);%正态性检验result(i,:)=p;%把检验的p值赋给result变量end%检测正态检验的p值result result =0.07340.17830.15880.14940.45410.0727 对6个学院的学生的考试成绩进行的正态检验的p值均大于0.05，说明在显著性水平0.05下均接受原假设，认为6个学院的学院的考试成绩服从正态分布。 第二步：方差齐次性检验 下面调用vartestn函数检验6个学院

9、的学生的考试成绩是否服从方差相同的正态分布， 原假设是6个学院的学生的成绩服从方差相同的正态分布，备择假设是服从方差相同的正态分布。 %调用vartestn函数进行方差齐次性检验p,stats=vartestn(score,college) p = 0.7138stats =chisqstat: 2.9104df: 5Grou p Summary Table51072 . 560B9. 09 . 34.0474. 47038. 6516349?9896 Ei8. 53HW2 0 673. 106.El8. 5Ol 8430369 . 斗3 38.？35230567.fJ5 88. 4&1494

10、?73 . 08578. 7?？.36Co1m -tHean8td Dev- 0s 式 , a t i St i c:2. -91扣OE，工 已 ez off 工 ee妇 5,0？14 检验的p值=0.71380.05,说明在显著性水平0.05下接受原假设，认为6个学院的学生的考试成绩服从方差相同的正态分布，满足方差分析的基本假定。 第三步：方差分析 经过正态性检验和方差齐次性检验之后， 认为6个学院学生的成绩服从方差相同的正态分布，下面调用anova1函数进行单因素一元方差分析，检验不同学院的学生的考试成绩有无显著差别，原假设是没有显著差别，备择假设是有显著差别。 %单因素一元方差分析p,t

11、able,stats=anova1(score,college) p =5.6876e-74table =SourceSSdfMSFProbFGroups2.9192e+0455.8384e+0376.74055.6876e-74Error1.5756e+05207176.0796Total1.8675e+052076stats =gnames: 6x1 celln: 510 404 349 206 303 305source: anova1means: 72.5608 74.4703 79.8968 73.1068 69.4323 67.9508df: 2071s: 8.7224ssdf且5ANOVA TableFP.1:o b ) F2 91,91,. 955838. 3876.？4,5 . 68764 o- 74,1 5f 56 0. 82 0 7,l? 6. 08186 ? 52.？2 0 76100 尸，主千牛千|90 |丁 d _|i丁|i|80 卢|丿|70|i|60 卢|.,: |:I|i|50 尸|中|llllll机械电信化工环境经管计算机主 anova1函数返回的p值0.05，故拒绝