自动控制原理5(3).ppt

1、,5.4 频域稳定判据,重点： 奈氏判据 对数稳定判据,难点： 奈氏判据 对数稳定判据,5.4 频域稳定判据,频域稳定判据：奈奎斯特稳定判据（奈氏判据）和对数稳 定判据。,奈氏判据是根据开环幅相曲线判断闭环系统稳定性的一种准则； 对数稳定判据本质上和奈氏判据没有什么区别，根据开环系统 的对数频率特性曲线判断闭环系统的稳定性。,频域稳定判据的特点： 应用开环频率特性曲线判断闭环稳定性； 便于研究系统参数和结构改变对系统稳定性的影响； 很容易研究包含延迟环节系统的稳定性； 奈氏判据稍加推广还可以用来分析某些非线性系统的稳定性。,基本思想：利用开环频率特性判别闭环系统稳定性。 一.预备知识辅助函数,

2、5.4.1 奈奎斯特稳定判据,如图所示的控制系统结构图，其开环传递函数为 相应的闭环传递函数为,分母为n阶 分子为m阶（nm）,可知：N（s）+M（s）和N（s）分别为闭环和开环特征多 项式，于是定义两者之比为辅助函数F（s），即,实际系统传递函数G（s）分母阶数nm，因此辅助函数的分 子、分母同阶，即其零点数和极点数相等。设有n个极点和n 个零点。 辅助函数可表示为：,辅助函数具有的特点： （1）辅助函数F（s）是闭环特征多项式和开环特征多项式 之比，其零点和极点分别为闭环极点和开环极点。 （2）F（s）的零点和极点的个数相同，均为n个。 （3）F（s）与开环传递函数G（s）之间只差常量1。

3、 F（s）=1+G（s）的几何意义为：F平面上的坐标原点 就是G平面上的（-1，j0）点。,二.预备知识幅角定理 由复变函数可知，对S复平面上除奇点外的任一点，经 过复变函数F(s)的映射，在F(s)平面上可以找到对应的象。设辅助函数F(s)是复变量s的单值有理复变函数，由复变函 数理论可知如果函数F(s) 在s平面上指定阈内是非奇异的， 那么对于此区域内的任意一点都可以通过F(s)的映射关系在 F(s)平面上找到一个相应的点，对于s平面上的任意一条不通 过F(s)奇异点的封闭曲线，也能通过映射关系在F(s)平面找 到一条与它相对应的封闭曲线。,5.4.1 奈奎斯特稳定判据,映射定理,假设复变

4、函数F(s)是s的单值解析函数，那么对于s平面上的任一点，在F(s)平面上必定有一个对应的映射点。,设s为一复数变量，F(s) 是s的有理分式函数，设其形式为,如果在s平面画一条封闭曲线，并使其不通过F(s)的任一奇点，则在F(s)平面上必有一条对应的映射曲线。,设辅助函数,令：s从 开始沿任一闭合路径s （不经过F(s)的零点和极 点）顺时针旋转一圈，F(s)的相角变化情况如下： 零点(-Zi) 极点(-Pj) 1) Zi在s外。 2) Pj在s外。 结论：相角无变化 1) Zi在s内， 。(顺时针 ) 2) Pj在s内， 。(逆时针) 结论：若F(s)在s中有Z个零点和P个极点，则当s沿s

5、顺时 针方向旋转一圈时， F(s) 相角有变化（顺时针）：,幅角定理： F(s)是s的单值有理函数，在s平面上任一闭合路径包围了F(s)的Z个零点和P个极点，并且不经过F(s)的任一零点和极点，则当s沿闭合路径顺时针方向旋转一圈时，映射到F(s)平面内的F(s)曲线顺时针绕原点（Z P）圈。即 R=Z-P （或逆时针绕原点R= P - Z圈） 其中：R为圈数，正、负表示的旋转方向：逆时针为正，顺时针 为负。,三.奈奎斯特稳定性判据 1奈氏路径 为了确定辅助函数位于右半s平面内的零、极点数。将封闭曲线 扩展为整个右半s平面。顺时针方向包围整个s右半面。曲线由 3段构成。 段：正虚轴sj频率 由0

6、变化到 段：半径为无限大的右边圆sRej ，由/2变化到/2 段：负虚轴sj频率 由变化 到0,s平面,2. 奈氏判据 设： 显然：F(s) 的零点就是闭环系统的极点。 (1) 1G(S)平面上的系统稳定性分析(F平面） 假如s沿着奈氏路径绕一圈，根据幅角定理，F(s)平 面上绘制的F(s)曲线F逆时针方向绕原点的圈数R则 为F(s)在s右半开平面内极点个数P与零点个数Z之 差： R= P - Z 当Z=0时，说明系统闭环传递函数无极点在s右半开平 面，系统是稳定的；反之，系统则是不稳定的。,（2）G(s)平面上的系统稳定性分析-奈氏判据 因1+ G(s) 与G(s) 相差1，所以系统稳定性可

7、表述为： 奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕 一圈，G(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 P为G(s)位于s右半平面的极点数。 a.若P=0，且 R=0，即G曲线不包围（-1，j0）点，则闭环 系统稳定； b.若P0，且R=P，即G曲线逆时针绕（-1，j0）点P圈，则 闭环系统稳定，否则是不稳定系统。 不稳定系统分布在s右半平面极点的个数可按下式求取： Z=PR c.若G曲线通过（-1，j0）点L次，则说明闭环系统有L个极 点分布在s平面的虚轴上。,注意： 1）绘制开环频率特性曲线后，将曲线右移一个单位，并 取其镜像，则称为F平面上的封闭曲线。 2）通常情况下，在实际

8、的系统分析中，一般只绘制开环幅相 特性曲线而不绘制其镜像曲线，则有： R=2N (N为开环幅相曲线包围G平面上（1，j0）点的圈数） 则G平面上的奈氏判据为: Z=P-2N,例5.5 一系统开环传递函数为： 试判别系统的稳定性。 解：本系统的开环频率特性 当 变化时， 系统的幅相曲线如图所示。 因为系统有一个开环极点位于s的右 半平面，即：P=1。 图中奈氏曲线是逆时针方向绕（-1，j0）点的1圈，即 R=1。 根据奈氏判据, 闭环系统在s右半平面极点数 Z=P-R=1-1=0 所以系统稳定。,例5.5,已知单位反馈系统开环传递函数,试判别闭环系统的稳定性。 解:作出开环幅相频率特性曲线，如图

9、所示。,正向包围,点半圈，即,，故,，闭环系统稳定。,由图可见，,；由,可知开环是不稳定的，有一个正根，即,特殊情况：,特殊情况：,如果开环传递函数中包含有,个积分环节，则绘制开环幅,开始顺时针转,90,为止的半径为无穷大的一段圆弧。然后用增补后的,相频率特性曲线后，必须增补从,到,开环幅相频率特性曲线来分析闭环系统的稳定 。,奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏路径绕 一圈，G0(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点的P圈。 Z=PR P 为G0(s)H(s)位于s右半平面的极点数； R G0(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点的圈数； Z 闭环系统位于s右半平面的极点数

10、。,例5.6 试判断系统的稳定性 ： 解: 先作+j 0到+j时的 G(j)H(j)曲线。再根 据对称性，作出-j 0到 -j时的G(j)H(j)曲线。,题中 ，即当s从- j0转到+j0时， G(j)H(j) 曲线以半径为无 穷大，顺时针转过角（虚 线）。并可求得， = 1时， G(j)H(j)与实轴交 。 从图可见，G(s)H(s)的奈氏 曲线顺时针绕 ( -1, j0 ) 点一 圈，N =-1，又因为P =0， 所以 Z = P - N=1， 说明为不稳定系统，有一个 闭环极点在s的右半平面。,例5.7 分析如下系统的稳定性。设开环传递函数中， T5T1T2、T3和T4 解：若某K值下G

11、H曲线如图， 因N=0，且P=0，系统稳定。 1. K增大，使（-1，j0）位于 c、d间，曲线顺时针包围 （-1，j0）两圈，系统不稳定。 2. K减小，使（-1，j0）位于 a、b之间，曲线顺时针包围 （-1，j0）点两圈，系统仍不 稳定。 K再减小，使（-1，j0） 点位于a点左边，那么闭环系 统又稳定了。这样的系统称为 条件稳定系统。即要使系统稳定，K必须满足一定的条件。,3.一种简易的奈氏判据 （1）正、负穿越的概念 G0(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次

12、（相角减少），用 表示。 正穿越 负穿越,（2）若G(j)H(j)轨迹起始或终止于(-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+1/2次穿越和-1/2次穿越。,（3）如果G0(j)H(j)按逆时针方向绕(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一次。这种正负穿越之和即为G0(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：,闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G0(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2NP-2(N+-N-

13、) 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N=0： 注意：这里对应的变化范围是 。,例5.8 某系统G0(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。 解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2）， G0(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负穿越，因为：N= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。,例5.9: 两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。 解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以 Z=P-2N=2 系统不稳定。 (

14、b) ：K1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1， 所以 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1， 所以 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。,奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿着奈氏 路径绕一圈，G0(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0） 点P圈。 Z=PR P 为G0(s)H(s)位于s右半平面的极点数； R G0(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数； Z 闭环系统位于s右半平面的极点

15、数。 闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时， G0(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正 负穿越之和为 P/2 圈。,?,四. 对数稳定判据,将奈氏稳定判据引申到Bode图上，以Bode图的形式 表现出来，就成为对数稳定判据。 确定开环频率特性的奈氏图与Bode图的关系： （1）奈氏图上|G(j)|=1的单位圆与Bode图上0dB线相对应。单位圆以外部对应于L()0,单位圆内部对应于 L()0。 （2）奈氏图上的负实轴对应于Bode图上的()=180线。,极坐标图伯德图 单位圆0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域0db线以下区域 单位圆以外区域0db线以上区域 负实轴

16、-180线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。,例5.10：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系统不稳定。,5.5 稳 定 裕 度,5.5.1 相对稳定性的概念 在工程应用中，由于环境温度的变化、元件的老化以及元件的更换等，会引起系统参数的改变，从而有可能破坏系统的稳定性。因此在选择元件和确定系统参数时，不仅要考虑系统的稳定性，还要求系统有一定的稳定程度，这就是所谓自动控制系统的相对稳定性问题

17、。 人们常用系统开环频率特性G(j)H(j)与GH平面 上与（-1，j0）点的靠近程度来表征闭环系统的稳定程度。一般来说，G(j)H(j)离开（-1，j0）点越远，则稳定程度越高；反之，稳定程度越低。,接近程度是以相角裕度和幅值裕度来表示。 相角裕度和幅值裕度是系统开环频率指标，它与闭环系统的动态特性密切相关。 5.5.2 稳定裕度的定义 一、相角裕度（相位裕量） 增益剪切频率 ：指开环频率特性G(j)H(j） 的幅值等于1时的频率，即 在控制系统的增益剪切频率c上，使闭环系统 达到临界稳定状态所需附加的相移（超前或迟后相 移）量，称为系统的相角裕度，记作。,相位裕量： 当0时，相位裕量 为正

18、，系统稳定； ,结论： 一般而言 L(c)处的斜率为20dB/dec时，系统稳定。 L(c)处的斜率为40dB/dec时，系统可能稳定，也可能不稳定，即使稳定， 也很小。 L(c)处的斜率为60dB/dec时，系统肯定不稳定。 为了使系统具有一定的稳定裕量， L()在c处的 斜率为20dB/dec。,2、幅值裕度 在系统的相位剪切频率g（g0）上，开环频率特性幅值的倒数，称为控制系统的幅值裕度，记作h，即 以分贝表示时 h大于1，则幅值裕度为正值，系统稳定。 h小于1，则幅值裕度为负值,系统不稳定。,对于最小相角系统，要使系统稳定，要求相角裕度大于零，幅值裕度大于1（20lgh0）。 一般说来

19、为了得到满意的性能，相位裕量应当在 30 60之间，而增益裕量应当大于6dB。,相角裕度的物理意义：稳定系统在截至频率c处若再滞后一个 角度，则系统处于临界状态，若相角滞后大于，则系统将变 成不稳定的。 幅值裕度的物理意义：稳定系统的开环增益再增大h倍，则 g处的幅值等于1，曲线正好通过（1，j0）点，系统处于 临界稳定状态，若开环增益增大h倍以上，则系统将变成不稳定。 h又可称为增益裕量。,5.5.3 稳定裕度的计算 通常有三种求解系统相角裕度和幅值裕度的方法，即解析法、极坐标图法和伯德图法。 1. 解析法 例 5.11 已知最小相位系统的开环传递函数为 试求出该系统的幅值裕度和相角裕度。,解 系统的开环频率特性为 其幅频特性和相频特性分别是,令 ，得 令 ,得 则,2. 极坐标图法 在GH平面上作出系统的开环频率特性的极坐标图，并作一单位圆，由单位圆与开环频率特性的交点与坐标原点的连线与负实轴的夹角求出相角裕度 ；由开环频率特性与负轴交点处的幅值 的倒数得到幅值裕度h。,在上例中，先作出系统的开环频率特性曲线如图所示，作单位