东营专版2019年中考数学复习函数第七节二次函数的综合应用课件.pptx

1、第七节二次函数的综合应用,考点一 线段、周长问题 例1 (2017东营中考)如图，直线y x 分别与 x轴、y轴交于B，C两点，点A在x轴上，ACB90，抛物 线yax2bx 经过A，B两点,(1)求A，B两点的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHBC于 点H，作MDy轴交BC于点D，求DMH周长的最大值,【分析】 (1)由直线解析式可求得B，C坐标，再利用相似三角形可求得OA，从而可求出A点坐标； (2)利用待定系数法可求得抛物线解析式； (3)根据题意可推出当MD取得最大值时，DMH的周长最大，利用二次函数的性质得出最大值,【自主解答】(1

2、)直线y x 分别与x轴、y轴 交于B，C两点， 点B的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0， ) ACOBCO90，ACOCAO90， CAOBCO. AOCCOB90，AOCCOB， 点A的坐标为(1，0),(2)抛物线yax2bx 经过A，B两点， 抛物线的解析式为y,(3)由题意知，DMH为直角三角形，且M30， 当MD取得最大值时，DMH的周长最大,DMH周长的最大值为,1(2017东营冲刺卷)如图所示，二次函数的图象经过点 D(0， )，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线 段AB长为6. (1)利用二次函数的对称性直接写出点A，B的坐标 (2)求二次函数的解析式 (3)在该抛

3、物线的对称轴上找一点P，使PAPD最小，求出点 P的坐标,(4)在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由,1解：(1)A(1，0)，B(7，0) (2)设二次函数的解析式为ya(x1)(x7) 过点(0， )，代入得7a . 解得a ， 二次函数的解析式为y (x1)(x7),(3)点A，B关于直线x4对称，PAPB，PAPDPBPDDB， DB与对称轴的交点即为所求点P. 如图，设直线x4与x轴交于点M. PMOD，BPMBDO.又PBMDBO， BPMBDO，,(4)存在由(2)可得出点C的坐标为(4， ) AM3， 在RtAMC中，t

4、anACM ， ACM60. ACBC， ACB120.,如图所示，当点Q在x轴上方时，过点Q作QNx轴于点N. 如果ABBQ， 由ACBABQ得BQ6，ABQACB120， 则QBN60， QN3 ，BN3，ON10， 此时点Q的坐标为(10，3 ),如果ABAQ，由对称性知Q的坐标为(2，3 )， 经检验，点(10，3 )与(2，3 )都在抛物线上 当点Q在x轴下方时，QAB就是ACB，此时点Q的坐标是 (4， ) 综上所述，存在这样的点Q，使QAB与ABC相似，点Q的坐 标为(10，3 )或(2，3 )或(4， ),考点二 图形面积问题 例2 (2016东营中考)在平面直角坐标系 中，平

5、行四边形ABOC如图放置，点A，C的 坐标分别是(0，4)，(1，0)，将此平行 四边形绕点O顺时针旋转90，得到平行 四边形ABOC.,(1)若抛物线过点C，A，A，求此抛物线的解析式； (2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，AMA的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标； (3)若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P，N，B，Q构成平行四边形时，求点P的坐标；当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标,【分析】 (1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90，得 到平行四边形ABOC，且点A的坐标是(0，4)，可求得 点A的坐标，然后利

6、用待定系数法即可求得抛物线的解析 式； (2)连接AA，设直线AA的解析式为ykxb，利用待定 系数法即可求得直线AA的解析式，再设点M的坐标为(x， x23x4)，继而可得AMA的面积，求得答案； (3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案,【自主解答】(1)平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90， 得到平行四边形ABOC，且点A的坐标是(0，4)， 点A的坐标为(4，0) 点A，C的坐标分别是(0，4)，(1，0)，抛物线过点C， A，A，,设抛物线的解析式为yax2bxc， 此抛物线的解析式为yx23x4.,(2)如图，连接AA，设直线AA的解析式为ykxb，,直线AA的解

7、析式为yx4. 设点M的坐标为(x，x23x4)， 则SAMA 4x23x4(x4) 2x28x2(x2)28， 当x2时，AMA的面积最大，最大值SAMA8， M的坐标为(2，6),(3)设点P的坐标为(x，x23x4) 当P，N，B，Q构成平行四边形时， 平行四边形ABOC中，点A，C的坐标分别是(0，4)， (1，0)， 点B的坐标为(1，4) 点Q坐标为(1，0)，P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点,当BQ为边时，PNBQ，PNBQ. BQ4， x23x44. 当x23x44时， 解得x10，x23， P1(0，4)，P2(3，4)； 当x23x44时，,当BQ为对角线时，BPQN

8、，BPQN，此时P与P1，P2重合,综上可得，点P的坐标为P1(0，4)，P2(3，4)，P3( ， 4)，P4( ，4) 当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为(0，0)或(3，0),2(2018遂宁中考)如图，已知抛物线yax2 x4的 对称轴是直线x3，且与x轴相交于A，B两点(B点在A点右 侧)，与y轴交于C点 (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)若点P是抛物线上B，C两点之间的一个动点(不与B，C重 合)，则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请 求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；,(3)若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当

9、MN3时，求M点的坐标,解：(1)抛物线yax2 x4的对称轴是直线x3， 3，解得a ， 抛物线的解析式为y x2 x4. 当y0时， x2 x40， 解得x12，x28， 点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(8，0),(2)当x0时，y x2 x44， 点C的坐标为(0，4) 设直线BC的解析式为ykxb(k0) 将B(8，0)，C(0，4)代入ykxb得,直线BC的解析式为y x4. 假设存在，设点P的坐标为(x， x2 x4) 如图，过点P作PDy轴，交直线BC于点D，,则点D的坐标为(x， x4)， PD x2 x4( x4) x22x， SPBC PDOB 8( x22x)x28

10、x (x4)216. 10， 当x4时，PBC的面积最大，最大面积是16. 0 x8， 存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16.,(3)设点M的坐标为(m， m2 m4)，则点N的坐标为 (m， m4)， MN| m2 m4( m4)| | m22m|. 又MN3， | m22m|3.,当0m8时，有 m22m30， 解得m12，m26， 点M的坐标为(2，6)或(6，4) 当m0或m8时，有 m22m30， 解得m342 ，m442 ，,点M的坐标为(42 ， 1)或(42 ， 1) 综上所述，M点的坐标为(42 ， 1)，(2，6)，(6， 4)或(42 ， 1),考点三 动点、存在

11、点问题 例3 (2018东营中考)如图，抛物线ya(x1)(x3)(a0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使OCAOBC. (1)求线段OC的长度； (2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；,(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)令y0，求出x的值，确定出OA与OB的长度， 根据已知相似三角形的比例，求出OC的长即可； (2)根据C为BM的中点，求出OD的长度，利用待定系数法确 定出直线BM的解析式，把点C坐标代入抛物线

12、求出a的值， 即可确定出二次函数解析式； (3)四边形ABPC面积最大即BPC面积最大，向下平移BM与 抛物线有唯一公共点时，BCD面积最大，构造一元二次方 程，求得0时m的值，进而求得P点坐标,【自主解答】 (1)令a(x1)(x3)0，可得x11，x23， OA1，OB3. OCAOBC， ， OC2OAOB133，OC .,(2)如图，过点C作CDx轴，垂足为点D，则CDOM. 点C是BM的中点， OD OB ，,设直线BM的解析式为ykxb，将B，C两点的坐标代入得,(3)存在如图，S四边形ABPCSABCSBPC，SABC是常量， SBPC的面积随点P的位置变化而变化， 向下平移直线

13、BM，当平移后的直线BM和抛物线,000,3(2018泰安中考)如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A(4，0)，B(2，0)，交y轴于点C(0，6)，在y轴上有一点E(0，2)，连接AE. (1)求二次函数的解析式； (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；,(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由,解：(1)由题意可得 二次函数的解析式为y x2 x6.,(2)由A(4，0)，E(0，2)，可求得AE所在直线解析式为 y x2. 如图，过点D作DH与y轴平行，交AE于点

14、F，交x轴于点G， 过点E作EHDF，垂足为H.,设D点坐标为(x0， x02 x06)，则F点坐标为(x0， x02)， 则DF x02 x06( x02) x02x08. 又SADESADFSEDF， SADE DFAG DFEH 4DF,2( x02x08) (x0 )2 ， 当x0 时，ADE的面积取得最大值 . (3)P点的坐标为(1，1)，(1， )，(1，2 ),考点四 二次函数综合题 百变例题 (2018济宁中考)如图，已知抛物线yax2 bxc(a0)经过点A(3，0)，B(1，0)，C(0，3) (1)求该抛物线的解析式； (2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切

15、点M的坐 标；,(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C， Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐 标；若不存在，请说明理由,【分析】 (1)已知A，B两点坐标，可得ya(x3)(x1)， 再将点C坐标代入即可解得； (2)过点A作AMBC，利用全等三角形求出点N的坐标，再利 用待定系数法求出直线AM的解析式，同理可求出直线BC的解 析式，联立求出M坐标即可； (3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形，分 两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即可,【自主解答】(1)抛物线yax2bxc(a0)经过点 A(3，0)，B(1，0)， ya(x3)(x1)

16、 又抛物线经过点C(0，3)， 3a(03)(01)， 解得a1， 抛物线的解析式为y(x3)(x1)， 即yx22x3.,(2)如图，过点A作AMBC，垂足为点M，AM交y轴于点N， BAMABM90. 在RtBCO中， BCOABM90， BAMBCO. A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)， AOCO3，OB1.,又BAMBCO， BOCAON90， AONCOB， ONOB1，N(0，1) 设直线AM的函数解析式为ykxb， 把A(3，0)，N(0，1)代入得,解得 直线AM的函数解析式为y x1. 同理可求直线BC的函数解析式为y3x3. 解方程组得 切点M的坐标为( ， ),(

17、3)存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形 设Q(t，0)，P(m，m22m3) 分两种情况考虑： 当四边形BCQP为平行四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1m0t，0(m22m3)30，,解得m1 . 当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3)； 当m1 时，m22m382 22 33， 即P(1 ，3),当四边形BCPQ为平行四边形时， 由B(1，0)，C(0，3)， 根据平移规律得1t0m，003(m22m3)， 解得m0或2. 当m0时，P(0，3)(舍去)；当m2时，P(2，3) 综上所述，存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四

18、边 形，点P的坐标为(1 ，3)或(1 ，3)或(2，3),变式1：若点D是抛物线的顶点，求ACD面积与ABC面积的比 解：如图，连接AC，AD，CD，作DLx轴于点L.,SACDS梯形OCDLSADLSAOC (34)1 24 33 3， SABC ABOC 436， SACDSABC3612.,变式2：若E是x轴上一个动点，过E作射线EFBC交抛物线于点F，随着E点的运动，在抛物线上是否存在这样的点F，使以B，E，F，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由,解：存在理由如下： 如图，当点F在x轴下方时，作FRx轴于点R. 四边形BCFE为平行四边形， EF BC，ERFBOC， RFOC3， 3x22x3， 解得x2或x0(与C点重合，舍去)， F(2，3),如图，当F在x轴上方时，作FSx轴于点S. 四边形BCEF为平行四边形， EF BC， EFSBCO， FSOC3，3x22x3， 解得x11 ，x21 . 综上所述，F点为(2，3)或(1 ，3)或(1 ，3),