非线性回归模型的线性化.ppt

1、第四章 非线性回归模型的线性化,4.1变量间的非线性关系 迄今为止，我们已解决了线性模型的估计问题。 但在实际问题中，变量间的关系并非总是线性关 系，经济变量间的非线性关系比比皆是。如大家所 熟悉的柯布-道格拉斯生产函数: 就是一例。,2020/8/22,1,在这样一些非线性关系中，有些可以通过代数 变换变为线性关系处理，另一些则不能。下面我们 通过一些例子来讨论这个问题。,2020/8/22,2,3,线性模型的含义 线性模型的基本形式是: 线性模型的线性包含两重含义： （1）变量的线性 变量以其原型出现在模型之中，而不是以 或 之类的函数形式出现在模型中。,（2）参数的线性 因变量Y是各参数

2、i的线性函数。 这种模型称为标准的线性回归模型,非线性回归模型的分类： 1 虽然被解释变量Y与解释变量 之间不存在线性关系，但与未知参数 之间存在着线性关系，这种类型的非线性回归模型被称为非标准线性回归模型。 其一般形式为： 其中 是关于 的p个已知的非线性函数， 是（p+1）个未知参数,4,2 虽然被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间不存在线性关系，但是可以通过适当的变换将其化为标准的线性回归模型，这种类型的非线性回归模型称为可线性化的非线性回归模型 如柯布道格拉斯生产函数模型： 3 如果被解释变量Y与解释变量 和未知参数 之间都不存在线性关系，而且也不能通过适当的变换将其化为标准的线性

3、回归模型，这种类型的非线性回归模型称为不可线性化的非线性回归模型,5,4.2线性化方法,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 非标准线性回归模型的一般形式为：,2020/8/22,6,1、非标准线性回归模型的线性化方法 非标准线性回归模型的线性化方法是变量替换法。 非标准线性回归模型的一般形式为： u 令 则可以把原模型转化为一个标准的多元线性回归模型,7,4.2线性化方法,下面介绍在经济问题时经常遇到的几种非标准线性回归模型 （1）多项式函数模型 多项式函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,8,例： yt = b0 +b1

4、 xt + b2 xt2 + b3 xt3 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt2，x 3t = xt3，上式变为 yt = b0 +b1 x 1t + b2 x 2t + b3 x 3t + ut 这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。,( b10, b20, b30) (b10, b30),例4.1：总成本与产品产量的关系（课本91页）,t= 2434.7+ 85.7 xt - 0.028 xt2 + 0.00004 xt3 (1.8) (12.0) (-2.8) (9.6) R2 = 0.9998, N = 15,( b10, b20) (b

5、10, b2 0,另一种多项式方程的表达形式是 yt = b0 + b1 xt + b2 xt2 + ut 令x 1t = xt，x 2t = xt 2，上式线性化为， yt = b0 + b1 x1t + b2 x2t + ut 如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。,（2） 双曲函数模型 双曲函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,12,双曲线函数还有另一种表达方式， yt = a + b/xt + ut 令xt* = 1/xt，得yt = a + b xt* + ut 上式已变换成线性回归模型。,1/yt = a + b/xt + ut,yt = a

6、+ b/xt + ut,（2） 双曲函数模型,（3） 对数函数模型 对数函数模型的一般形式为： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,14,( 0),( 0),（4） 、S-型曲线模型 S-性曲线模型的一般形式为： 首先对上式做倒数变换得： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型,15,2 可线性化的非线性回归模型的线性化方法,下面几种在研究经济问题时经常遇到的可线性化的非线性回归模型 （1）指数函数模型,指数函数模型的一般形式为 对上式两边取对数得到 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型；,2020/8/22,17,（1）指数函数模型,（2）幂函数模型（全对数模型） 幂函数模型的一般形式

7、为： 对上式两边取对数得到： 令 则可将原模型化为标准的线性回归模型：,2020/8/22,18,对于柯布-道格拉斯（C-D）生产函数模型 其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A、 和 为未知参数。试利用天津市1980年1996年的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。,19,例. ：天津市GDP函数(教材第95页),首先建立天津市的C-D生产函数模型 i=1，2，17 两边取对数得到： 令 则可将C-D生产函数模型转换成标准的二元线性回归模型,20,例.,例4.2：天津市GDP函数,= -10.46 + 1.02 X1t + 1.47 X2t (-8.1)