微分方程与差分方程数学模型(连续与离散1)2012716

1、一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型.,例1（马尔萨斯 （Malthus）人口模型或称指数增长模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（17661834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在人口原理一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,

2、他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为 ,在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型.,解 设 时刻的人口为 ,把 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在 到 时间段内,人口的增长量为,并设,时刻的人口为,于是,这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为,此式表明人口以指数规律随时间无限增长.,模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为 ,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长, 这样 , , ,于是,这个公式非常准确地反

3、映了在17001961年间世界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34.6年增加一倍（请读者证明这一点）,但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口.如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改.,例2（Logistic模型或称阻滞增长模型） 马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资

4、源只能供一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小.因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改.,1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数 （最大人口容量）,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而 就越大）,并假设将增长率等于 ,即净增长率随着 的增加而减小,当 时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型.,解 由韦尔侯斯特

5、假定,马尔萨斯模型应改为 上式就是Logistic模型,该方程可分离变量,其解为 下面,我们对模型作一简要分析.,（1）当 , ,即无论人口的初值如何,人口总数趋向于极限值 ； （2）当 时, ,这说明 是时间 的单调递增函数；,（3）由于 , 所以当 时, , 单增；当时 , , 单减,即人口增长率 由增变减,在 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；,（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原

6、因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口.由此可见该模型的缺点之一是 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食物就越丰富, 的值也就越大；,(5）用Logistic模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计, ,又当人口总数为 时,人口每年以2%的速率增长,由Logistic模型得,即,值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等, Logistic模型有着广泛的应用.,从而得,即世界人口总数极限值近100亿.,四、人口的控制与预测模型 背景分析： 人

7、口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟.但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用.人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等.试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律.,模型假设： 以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁. 1.设这个地区最大年龄为m岁 2.第t年为i岁的人数为,这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体， 我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系.,3.设第t年为i岁的人口平均死亡率为,i岁人口中死亡数与基数之比：,即：,4.设第t 年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿 数

8、为,为生育区间.,（占全部i岁人口数），由此可知：第t 年出生的人数为：,，即这一年中,为第t年i岁人口的女性比,5.记第t 年婴儿的死亡率为,，则,6.设,，它表示i岁女性总生育率，则,，如果假设,年后女性出生率保持不变，则,可见，,表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，,称之为总和生育率.它反映了人口变化的基本因素.,模型建立： 根据上面的假设,.,为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况，,令,则此向量,满足方程：,即：,这是一阶差分方程，其中,是可控变量，,是状态变量，,和,都是线性的，故称其为双线性方程.,并且关于,模型分析： 在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、 婴儿存活率是可以假设为不变的，故,为常数矩阵.从而，,只要总生育率,则人口的变化规律就可以确定下来.,确定下来，,为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标：,B、人口平均年龄：,C、平均寿命：,这里假定从第t年分析，如果以后每年的死亡率是不变