《几何与代数》科学出版社第三章几何空间.ppt

1、教学内容和学时分配,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,第三章 几何空间,例14. 求过点P(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,= (9, 5, 1).,= (4, 8, 4).,所求直线L的方程为,P,第三章

2、 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例14. 求过点P(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,x 2y + z + 3 = 0,2x 3y 3z 9 = 0,(9, 5, 1).,9(x+7)+5(y6)+(z5)=0, 即: 9x+5y+z+28=0.,过点P(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7) + (y6) + (z5) = 0, 即: x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,0,2,1,P,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,三平面的相对位置,1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0,2: A2x + B

3、2y + C2z + D2 = 0,3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0,r2= r1+1 无解 平行 或 “” 或 “”,r2= r1= 3 交于一点,r2= r1 = 2 3 交于一线,r2= r1 = 1 3 三平面重合,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,1: x + y + bz = 3,2: 2x + (a+1)y + (b+1)z = 7,3: (1a)y + (2b1)z = 0,b=0时,r2= r1+1,无公共点,a1且b 0时, r2= r1= 3, 交于一点,例15. 讨论三个平面的相互位置, 其中a,b为参数.,解：,第三章 几何空间,3.4

4、 空间的平面和直线,a1且b0时, r2= r1= 3, 交于一点,b=0时, r2= r1+1, 无公共点,当 a=1,b1/2时, r2= r1+1, 无公共点,1 1 b 3 0 0 1 2 0 0 0 12b,r3br2,当a=1,b=1/2时, r2= r1 =2 3 交于一线,1 1 0 2 0 0 1 2,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,(1) 两条直线的夹角,(2) 两个平面的夹角,(3) 直线与平面的夹角,规定夹角的范围0 /2.,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例16. 求直线L:,与平面 : x+2y+

5、z+1=0之间的夹角.,解：,法2：,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,2. 距离,(1) 点P到直线L的距离:,(2) 两平行直线之间的距离:,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,2. 距离,(3) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距离,(4) 两平行平面间的距离:,一平面上一点到另一平面距离,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,L1,(5) 异面直线之间的距离,L2,s1,s2,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例18. 求证L1:,解：,L2:,是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.,所以是两条异面直线.,公垂线的

6、方向为,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,解1：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,2,平面1的法向量为,平面2的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0, 即: y+z2=0.,平面2的方程为,公垂线的方程为,2x+5y+4z+8=0,例18. L1:,L2:,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,解2：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,平面1的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0, 即: y+z2=0.,平面1与直线L2的交点为,公垂线的方程为,M (8, 0, 2).,例18. L1:,L2:,第三章 几何空间,3

7、.4 空间的平面和直线,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空间直线的方程,2. 标准(对称)方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,第三章 几何空间,3. 通过直线L的平面束方程,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例19. 已知1: 2x y + z + 1 = 0,问1与2是否相交; 若相交, 求出交线 在平面 : 2x +

8、3y 6 = 0上的投影直线方程.,2: x 3y + 2z + 4 = 0.,解：,1,2相交.,过交线且垂直 的平面3:, 3 :,所求投影直线方程为,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例20. 求直线L:, : x + y 2z + 1 = 0上的投影直线方程.,解：,设过 L 的平面束方程为:,所求投影直线方程为,直线的对称方程可 转化为一般方程:,投影平面方程为,在平面,垂直于的平面1的法向量满足,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,例20. 求直线L:, : x + y 2z + 1 = 0上的投影直线方程.,解II：,所求投影直线方程为,投影平面方程为,在平面,

9、过直线l且垂直于的平面1的法向量为:,(2,1,2)(1,1,2) = (4,6,1),又因为1过直线l上的点(2, 1, 1),可得1的点法式方程 4(x2)+6( y1)+(z+1) = 0,第三章 几何空间,3.4 空间的平面和直线,3.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空间直线的方程,2. 标准(对称)方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2)=

10、0,第三章 几何空间,3.6 用Matlab解题,一. 计算向量的数量积、向量积和混合积,3.6 用Matlab解题,第三章 几何空间, a=1,0,-1;b=0,1,2; c=1,1,0; c_1=dot(a,b) %向量的数量积 c_1 = -2 c_2=cross(a, b) %向量的向量积 c_2 = 1 -2 1 d_1=dot(cross(a,b),c) %向量的混合积 d_1 = -1,3.6 用Matlab解题,二. 计算面积、体积、夹角和距离,第三章 几何空间,例21.,3.6 用Matlab解题,第三章 几何空间,二. 计算面积、体积、夹角和距离,3.6 用Matlab解题

11、,第三章 几何空间,3.6 用Matlab解题,三.线性变换应用平面图形的几何变换,第三章 几何空间,(x,y) (x+a,y+b)的平移可以用齐次坐标写成 (x,y,1) (x+a,y+b,1), 可用线性变换,绕原点逆时针旋转可用线性变换,沿x 轴方向放大s倍沿y 轴方向放大t倍可用线性变换,是书上的变换矩阵的转置,3.6 用Matlab解题,三.线性变换应用平面图形的几何变换,第三章 几何空间, clear all, clc, t=1 3 5 11 13 15*pi/8; n=length(t); x=sin(t); y=cos(t); subplot(2,2,1), %将窗口分成四块,

12、在第一块作图 fill(x,y,r); %给坐标(x,y)填充红色 grid on; %给当前的坐标轴增加分隔线 axis(-2.4, 2.4, -2, 2) %设置x-轴与y-轴的范围,先将该图形放大0.9倍再逆时针旋转/4；最后进行横坐标加1.2、纵坐标减1的图形平移,3.6 用Matlab解题,第三章 几何空间, clear all, clc, t=1 3 5 11 13 15*pi/8; n=length(t); x=sin(t); y=cos(t); subplot(2,2,1), fill(x,y,r); grid on; axis(-2.4, 2.4, -2, 2) %设置x-轴

13、与y-轴的范围 XY0=x;y;ones(1,n); k=0.9; %将上面图形放大0.9倍 T1=k 0 0;0 k 0;0 0 1 XY1=T1*XY0; subplot(2,2,2) x1=XY1(1,:);y1=XY1(2,:); fill(x1,y1,h);grid on; axis(-2.4, 2.4, -2, 2),先将该图形放大0.9倍再逆时针旋转/4；,3.6 用Matlab解题,第三章 几何空间, theta=pi/4 %逆时针旋转/4 T2=cos(theta),-sin(theta),0;sin(theta),cos(theta),0;0 0 1 XY2=T2*XY1; subplot(2,2,3) x2=XY2(1,:);y2=XY2(2,:); fill(x2,y2,g); grid on;axis(-2.4,