概率论第三章部分习题解答

1、1,第三章 随机变量的数字特征,（一）基本内容,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,（二）作业题略解,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,解2,设Y 表示停车的次数,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,（三）其它习题略解:,5,19 帕斯克分布:设事件A在每次实验中发生的概率为 p，进 行重复独立实验，直至事件A发生r 次为止，需要进行的 实验总次数的概率分布:,解,X 表示直到事件A发生r 次需要进行的实验总次数，,表示直到事件A发生第1 次进行的实验次数，,表示事件A发生第i-1 次后到第i次

2、发生时进行的实验次数，,则:,求: X 的期望与方差.,39,15,过半径为R的圆周上任意点作这圆的弦,求这弦的平均长度.,解,如图示:,设L 表示所作的弦的长度,则:L=2RcosT,E(L)=E(2RcosT)=,40,22,计算均匀分布U(a,b)的k阶原点矩及k阶中心矩.,解,设随机变量 X U(a,b),则其概率密度:,41,26,设,是任意 n个随机变量,证明:,若,相互独立,证明:,42,27,X H( n, M, N ),设,求:,E( X ), D( X ).,解,则,则n次抽样共抽到的次品数为：,且,所以：,43,0,1,0,1,44,45,31,证明:,若不独立的随机变量

3、,满足条件,则对任意的正数 恒有,证明:,由切比雪夫不等式,对任意的正数 恒有,因概率不能大于1,(马尔可夫),46,补例1:,设二维随机变量(X,Y)在矩形区域:,上服从均匀分布,记,求(1)U与V的联合分布,(2)U与V的相关系数.,解:,由题意(X,Y) 的联合概率密度:,如图示:,P(U=0,V=0)=,47,P(U=0,V=1),P(U=1,V=0),P(U=1,V=1),所以(U,V )的联合分布:,48,因U,V 分别服从“0-1”分布,49,例2:,设随机变量U 在区间-2,2上服从均匀分布,随机变量:,求(1) ( X, Y ) 的联合分布, (2) D(X+Y).,由题意随

4、机变量U 的概率密度:,解:,P(X=-1,Y=-1),P(X=-1,Y=1),=P (U-1),=P (U-1,U1)=0,P(X=1,Y=-1),=P (U-1,U1)=P(-1U1),P(X=1,Y=1),=P (U-1,U1)=P(U1),=P (U-1,U1),50,所以(X,Y )的联合分布:,51,例3:,解: (1),设 A,B 为随机事件,且P(A) = P(B/A)= P(A/B)=,令,求:,(1) (X,Y) 的联合分布;,(2) X与Y的相关系数;,(3) 的概率分布.,P(X=0,Y=0),P(X=0,Y=1),P(X=1,Y=0),P(X=1,Y=1),52,0,1,0,1,(X,Y)的联合分布:,X的边缘分布:,Y的边缘分布:,2),因X,Y 分别服从“0-1”分布,53,3),随机变量 的可能取值:0,1,2.,54,例4:,某流水生产线上每个产品不合格的概率为: p (0p1),各产品合格与否相互独立,当出现一个不合格产品时即停机检修.,设开机后第一次停机时已生产的产品个数为X ,求X的数学期望 E(X)与方差D(X).,解:,55,例5:,已知甲, 乙两个箱子装有同种产品,其中甲箱中装有3件合格品,3件次品,乙箱中仅装有3件合格品,从甲箱中任取3件产品装入,乙箱中后,求:,(1)乙箱中次品件数X