MATLAB应用7-1.ppt

1、4、符号运算,符号计算的特点： 一、运算以推理解析的方式进行，不存在计算误差累积问题； 二、符号计算给出封闭解，当封闭解不存在时给出数值解； 三、符号计算指令的调用比较简单，与教科书公式相近； 四、计算所需时间长，有时难以忍受。 在运算中，由包含符号对象的表达式所生成的衍生对象也都是符号对象 在MATLAB中，符号计算虽以数值计算的补充身份出现，但涉及符号计算的指令使用、运算符操作、计算结果可视化、程序编制以及在线帮助系统都是十分完整、便捷,4-1、符号对象的生成和使用,定义基本符号对象的指令有两个：sym和syms 1、使用sym函数定义符号变量和表达式 a=sqrt(sym(3) （比较a

2、=sqrt(3)） f=sym(a*x2+b*x+c) ; g=f2+4*f-2 2、使用sym函数生成符号方程 eq1=sym(sin(x)+cos(x)=1) 3、使用syms函数定义符号变量和表达式 syms a b c d f=sym(a*x2+b*x+c);g=f2+4*f-2,4-1、符号对象的生成和使用,sym指令常用格式选项： 1、数值或数值表达式转换成符号对象时： t=0.01 sym(t)或 sym(t,r) %将数值变量t转换为有理数形式表示 sym(t,f) %将数值变量t转换为16进制浮点数形式表示 sym(t,e) %将数值变量t转换带估计误差的有理形式表示 sym

3、(t,d) %将数值变量t转换为最接近的十进制浮点数形式表示 2、字符串换成符号对象时： sym(t2,positive)%将t2限定为正、实符号变量 ( real,unreal 实,非实符号变量),数据对象及其识别指令使用举例,数值计算对象、符号计算对象和字符串是Matlab中最常遇到的3种数据对象。它们遵循不同生成方式和操作指令。 例1： a=1;b=2;c=3;d=4; %产生四个数值变量 Mn=a,b;c,d %利用已赋值构成2*2数组 Mc=a,b;c,d %生成字符串矩阵与前面赋值无关 Ms=sym(a,b;c,d) %生成符号变量矩阵，与前面赋值无关 size(Mn), size

4、(Mc), size(Ms) % 3矩阵大小不同：2*2数组，1*9字符串， 2*2符号变量 class(Mn),class(Mc),class(Ms) % 3矩阵类别不同： double，char，sym,4-1、符号对象的生成和使用,例2、把字符表达式转换为符号变量 y=sym(2*sin(x)*cos(x) %把字符表达式转换成符号变量 y=simple(y) %将y符号表达式化简 例3、求矩阵 的行列式值、逆和特征根 syms a11 a12 a21 a22; A=a11,a12;a21,a22 DA=det(A),IA=inv(A),EA=eig(A),4-2、符号表达式和符号函数的

5、操作,符号表达式中的自由变量的确定： findsym (f) %找出f中全部自由变量 findsym (f,n) %找出f中n个靠近x的自由变量 例: syms a b x X Y; k=sym(3); %符号声明，生成常数符号 z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta); %生成符号变量 EXPR=a*z*X+(b*x2+k)*Y; %生成符号变量 findsym(EXPR) %全部自由独立变量，(常数符号k、因变量z在外) findsym(EXPR,3) %确定3个自由变量,4-2、符号表达式和符号函数的操作,合并同类项： collect(expr,v) %对expr

6、表达式中的符号对象v的同幂项系数进行合并 syms x y, collect(x2*y+y*x-x2-2*x,x)%x可省略 因式分解： syms a x;f1=x4-5*x3+5*x2+5*x-6; factor(f1) %对表达式（或正整数）进行因式（或因子）分解 horner(f1) %把多项式分解成嵌套形式 符号表达式的简化： f=sin(x)2+cos(x)2; simple(f) %把符号表达式转化成最简短形式 h,how=simple(f) %h简化结果，how为运用的简化方法 simplify(f) %运用恒等式对表达式进行综合简化（不一定为最简形式）,4-2、符号表达式和符号

7、函数的操作,置换与求值： f1=3*x3+5*x2-14*x-26;subs(f1,2) % 将x =2带入求值 fun1=sin(x)+cos(y); subs(fun1,x,y,2,3) %将x =2,y=3带入求值 subs(f1,x,y) %用y替换x 反函数运算： f=x2+y; finverse(f,y) %对指定自变量为y的函数f(y),求反函数g(y) 复合函数运算： syms x y z t u; f=1/(1+x2);g=sin(y); h=xt;p=exp(-y/u)； compose(f,g)； compose(f,g,t)； compose(h,g,x,z); com

8、pose(h,g,t,z); compose(h,p,x,y,z); compose(h,p,t,u,z),4-2、符号表达式和符号函数的操作,设定数值精度： k=sqrt(sym(3) digits %显示当前精度给出指定精度下数值型符号结果 digits(50) %将系统内部精度设为50位 j=vpa(k) %给出指定精度下数值型符号结果 j=vpa(k,n) %给出n位相对精度下数值型符号结果 符号对象与其它数据对象间的转换： phi=sym(1+sqrt(5)/2) %数值对象转换成符号常数 double(phi) %符号常数转换成双精度存贮的数值 syms x;f=x3+2*x2-3

9、*x+5; %生成符号多项式 sy2p=sym2poly(f) %由符号多项式产生数值系数行向量 p2st=poly2str(sy2p,x) %把系数行向量变成易读形式 p2sy=poly2sym(sy2p) %把数值系数行向量再转换为符号多项式,符号、数值、字符串间的转换指令,符号多项式、系数向量、字符串多项式之间的转换指令,符号计算中的基本算符和函数,1、基本运算符同数值对象运算符： +、-、*、/、实现矩阵运算； .*、./、.、.实现数组运算； 、.分别实现共轭转置和非共轭转置 2、关系运算符： 只有进行等于和不等比较=、=,符号计算中的基本算符和函数,3、三角函数、双曲函数及它们的反

10、函数： 除atan2仅能用于数值计算外，其余符号计算函数同数值计算 4、指数、对数函数： sqrt、exp、expm同数值计算；对数计算只有log（没有log2和log10） 5、复数函数：共轭conj、实部real、虚部imag、模abs同数值计算。不能求符号对象的相角,4-3、符号代数方程的求解,代数方程包括线性、非线性和超越方程，求解指令为solve。当方程组不存在符号解时，将给出数值解。使用格式如下： S=solve(eq1,eq2,eqn,v1,v2,vn) %eq1,eq2,eqn为字符串方程或表达式； v1,v2,vn是求解变量 %S是构架数组。若要显示结果，必须采用S.v1,S

11、.v2,S.vn的方式,4-3、符号代数方程的求解,例1：求方程组 关于y,z的解。 S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z) disp(S.y),disp(S.y),disp(S.z),disp(S.z) 以下指令都能给出关于y,z的正确解： y,z=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z) syms y z u v w, S=solve(u*y2+v*z+w,y+z+w,y,z) S=solve(u*y2+v*z+w,y+z+w,y,z),4-3、符号代数方程的求解,例2：求 构成的“欠定”方程组解 syms d n p q; eq1=d+n

12、/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p; S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);S.d,S.n,S.p,S.q 例3：求 的解 syms x;s=solve(x+2)x=2,x),4-4、符号微分方程的求解,符号计算中微分方程的初值问题和边值问题求解指令形式相同： S=dsolve(a_1,a_2,a_n) %输入量包括3部分内容：微分方程、初始条件、指定独立变量。其中微分方程必须输入，其余视需要而定。输入量必须以字符形式编写。 %独立变量由全部输入量a_1,a_2,a_n中最后一个量a_n定义。若不加定义，默认小写英文字母t为独立变量。

13、 %微分方程的记述规定：当y是应变量时，用Dny表示y的n阶导数。 如Dy表示 ，Dny表示 %初始或边界条件被写成y(a)=b,Dy(c)=d等。a,b,c,d可以是变量使用符外的其它字符。当初始条件少于微分方程数时，所得解中将出现任意常数符C1,C2,。任意常数的个数等于所缺的初始条件数。 %输出量S是结构单元。,4-4、符号微分方程的求解,例1、求解 S=dsolve(Dx=y,Dy=-x); disp(blanks(12),x,blanks(21),y),disp(S.x,S.y) 例2、求解两点的边值问题： y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x

14、),4-4、符号微分方程的求解,例3、求初值问题的解： S=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1) S.f,S.g S=dsolve(Df=3*f+4*g,Dg=-4*f+3*g,f(0)=0,g(0)=1,x),4-5、符号微积分,1、符号极限 syms x limit(F,x,a) %计算当xa时F=F(x)的极限值 limit(sin(x)/x,x,1) limit(F) %计算当自变量0时F的极限值 limit(sin(x)/x) limit(F,x,a,right) %当xa+时F的极限值 limit(sin(x)/x,x,0,rig

15、ht) limit(F,x,a,left) %当xa-时F的极限值 limit(sin(x)/x,x,0,left) 2、符号微分和求导 w=sym(6*z5),w1=sym(y+z5) diff(y) %求y表达式的一阶导数 diff(w) diff(y,n) %求y表达式的n阶导数 diff(w,3) diff(y,z,n) %求y表达式对变量z的n阶导数 diff(w1,z,2) Jacobian(f,v) %求多元向量函数f的jacobian矩阵,4-5、符号微积分,3、符号积分 int(f,y) %f对指定变量y的不定积分,未加常数。若y略,则对x积分 int(f,n1,n2) %f对指定变量x从n1到n2的定积分 int(f,y,n1,n2) %f对指定变量y从n1到n2的定积分 例： f=sym(x2+x*y;sin(x)*cos(y) int(f,y)； int(f,1,2)； int(f,y,1,2) 4、符号积分变换 Fourier变换及其逆变换 f1=fourier(f)； g=ifourier(f1) Laplace变换及其逆变换 syms w t,g=laplace(sin(w*t); h=ilaplace(g) Z变换及其反变换 g=z