《导学教程》专题三第3讲 推理与证明

1、第3讲 推理与证明,1(2012江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10 A28B76C123D199 解析观察规律，归纳推理 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123. 答案C,真题感悟,自主学习导引,2(2012福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可

2、铺设道路的线路图如图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.,现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为_,解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用) 此时铺设道路的总费用为23123516. 答案16,具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题,考题分析,网络构建,高频考点突破,考点一：,合情推理,【例1】(1)(2012武昌模

3、拟)设fk(x)sin2kxcos2kx(xR)，利用三角变换，估计fk(x)在k1,2,3时的取值情况，对kN时推测fk(x)的取值范围是_(结果用k表示),审题导引(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律可得； (2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论,【规律总结】 归纳推理与类比推理之区别 (1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论 (2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也

4、具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质,【变式训练】,2平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数,考点二：,演绎推理,【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是abc0，且abbcca0和abc0. 审题导引由a、b、c为正实数，显然易得abc0，abbcca0，abc0，即“必要性”的证明用直接法易于完成证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法 规范解答(1)证必要性(直接证法)：因为a、b、c为正实数，所以abc0， abbcca0，abc0. 所以必要性成立,

5、(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc0，则它们只能是二负一正 不妨设a0，b0，c0， 又由于abbcac0a(bc)bc0， 因为bc0，所以a(bc)0. 又a0，所以bc0. 而abc0，所以a(bc)0. 所以a0，与a0的假设矛盾 故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数,【规律总结】 1演绎推理问题的处理方法 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前

6、提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果 2适用反证法证明的六种题型 反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等,【变式训练】,考点三：,数学归纳法,【规律总结】 使用数学归纳法需要注意的三个问题 在使用数学归纳法时还要明确： (1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可； (2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目； (3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k1时命题变化的情况,【变式训练】,名师押题高考,【押题1】已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个整数对是 A(7,5) B(5,7) C(2,10) D(10,1),答案B,押题依据能用归纳和类比进行简单的推理是高考对合情推理的基本要求相比较而言，归纳推理是高考的一个热点本题体现了归纳对推理的思想，需从所给的数对中总结归纳出其规律，进而推导出第60个整数对题目不难，体现了高考