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文档简介

1、任意一个mn矩阵A, 用贯穿整个矩阵的纵线和横线按某种需要将它划分成若干个行数与列数较少的矩阵, 这种矩阵称为A的子块或子矩阵,被划分的矩阵A称为分块矩阵. 此方法实质是把一个阶数较高的矩阵看成是由一些小矩阵组成的, 这时大矩阵的元素不全是数量,一般是一些小矩阵.,矩阵的分块是矩阵运算中的一个重要技巧,可以减少运算量使运算更为简明, 而且在一些命题的证明中起着重要作用.,2.6 分块矩阵,分块矩阵的运算,矩阵的分块相当随意, 但在划分时纵线和横线必须贯穿整个矩阵.,例如,令,A11,A12,A21,A22是A的子块,令,则,分块矩阵的运算规则,加法、数乘、乘法规则与一般矩阵相同.,注意,用分块

2、矩阵作加法运算时, 要将有关矩阵划分为大小相同的子块. 用分块矩阵计算AB时(设A的列数等于B的行数)一定要使A的列的分法与B的行的分法相同. 这样才可以保证符合矩阵的乘法规则.,例如,不可计算,可以计算,例1 分块矩阵的加法,例2 分块矩阵的乘法,练习 设,解,则,又,于是,例3 设,其中A=(aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且|A|0, |B| 0,证明D可逆, 且,证明,由|D|=|A|B| 0(Laplace) D可逆.,设,则,利用矩阵子块相等, 得,得X11=A-1Ek=A-1,X12=A-10=0,代入得X21=B-1CA-1, X22=B-1.,注意

3、,若C=0, 有,其中|A|0, |B| 0.,准对角形矩阵: 当n阶方阵中非零元素都集中在主对角线附近，分块后形如,分块对角矩阵的行列式具有下述性质:,例4 设,其中ai0(i=1, 2, , n), 求A-1.,解 设,其中,易知,而,练习 设,解,分块矩阵的初等变换,初等变换也可以象前面求逆矩阵一样用在分块矩阵上求逆矩阵或进行其他运算.,例5 设,其中A=(aij)kk, B=(bij)rr, C=(cij)rk, 且|A|0, |B| 0,求D-1.,解,左乘A-1,左乘B-1,左乘(B-1C),特别注意,在计算过程中是对矩阵作初等行变换, 必须强调左乘一可逆矩阵.,上述初等变换写成初等分块矩阵为,即,例6 设A, B均为三阶方阵, |B|=2, E为

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