6-5区间估计.ppt

1、第五节 区间估计,四、大样本置信区间 五、两个正态总体下的置信区间,一、置信区间的定义 二、置信区间的求法 枢轴量法 三、单个正态总体参数的置信区间,问题: 想象你经营一个食品商店.问能否根据下面的市场调查结果进行决策: (1) 点估计: 软饮料的每日平均需求量是 300 瓶;,(2) 软饮料的每日平均需求量是每日 300 50 瓶.,猜猜世界上最胖的人有多重？,一、 区间估计的定义,满足,定义1: 设是一个待估参数，对给定的 (01)，,若由样本 X1, X2, Xn 确定的两个统计量,则称区间 是的置信水平(置信度)为1- 的置信区间(confidence interval).,分别称为(

2、双侧)置信下限和置信上限.,注1: 对参数作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量),一旦有了样本，就把估计在区间 内 .,注2: 置信水平 1- 的频率解释: 在很多次的区间 估计的观测值中, 至少有 100 (1- )% 次包含.,置信区间 (95% 的置信区间),重复构造出 的 20 个置信区间,点估计值,可靠度与精度是一对矛盾，一般是在保证可靠度 的条件下尽可能提高精度.,上述定义在实际中常用的都是等式:,定义2: 沿用定义 1 的记号, 若对给定的 (01), 对任意的,有,则称 是的 1- 的同等置信区间.,有时在实际中常用的还有单侧置信区间:,则称 是的置信

3、水平为 1- 的(单侧)置信下限.若等号对一切 成立, 则称 为的 1- 的(单侧)同等置信下限.,定义3: 设 是统计量, 若对给定的(0 1)，对任意的,有,则称 是的置信水平为1- 的(单侧)置信上限.若等号对一切 成立,则称 为的1- 的(单侧)同等置信上限.,定义4: 设 是统计量, 若对给定的(01), 对任意的, 有,思考: 如果一条广告说，某药品的有效率为80%，其误差为正负3%，你相信这条广告吗？这条广告的发布者隐瞒了什么信息？,在求同等置信区间时最常用的方法是枢轴量法. 步骤如下:,二、置信区间的求法-枢轴量法,1、设法构造一个样本和的函数 G = G( X1 ,., Xn

4、 ,) , 使得 G 的分布为已知（即不依赖于未知参数）. 称 G 为枢轴量.,2、适当地选择两个常数 c、d, 使对给定的(0 1), 有,3、将 进行不等式变形化为 , 则有,最后的 就是的1- 的同等置信区间.,求参数 的置信度为 的置信区间.,例如: 设 X1, Xn 是取自 的样本，,1、明确问题,是求哪个参数的置信区间? 置信水平是多少？,解：,三、单个正态总体的置信区间,选 的点估计为 ,3、寻找一个待估参数和样本的函数，要求其 分布为已知.,4、对于给定的置信水平, 根据G 的分布，确定一个区间, 使得G取值于该区间的概率为置信水平., N(0, 1),对给定的置信水平1- ，

5、,查正态分布表得,使,5、变形可得 未知参数的置 信区间.,变形为,也可简记为,于是所求的置信度为1-的置信区间为,注：我们总是希望置信区间尽可能短.,在概率密度为单峰且对称的情形，一般当 c =-d 时求得的置信区间的长度为最短.,在概率密度不对称的情形，如 分布，F分布，习惯上仍取对称(即等尾）的分位点来计算未知参数的置信区间.,注1: 满足置信度要求的 c, d 通常不唯一.若有可能, 应选择平均长度 达到最短的 c 与 d , 这在 G 的分布为单峰且对称分布通常容易实现.,c =-d,注2: 实际中, 选平均长度最短的 c, d 很难实现. 因此常选择这样的 c, d, 使得两个尾部

6、概率各为/2, 即:,这样的置信区间称为等尾置信区间. 这是在G的分布为偏态分布场合常采用的方法. 如:,单个正态总体置信区间常用公式,(1) 方差 2已知, 的置信区间,(2) 方差 2未知 , 的置信区间,(3) 当 未知时, 方差 2 的置信区间,注：两边开方即得到 的置信区间,由,确定,故 的置信区间为,(2)推导 选取枢轴量,(3)推导 选取枢轴量,得 2 的置信区间为,则由,(4) 当 已知时, 方差 2 的 置信区间（这种情况在实际中很少）,取枢轴量 ，,得 2 的置信度为 置信区间为,由概率,例1 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从,正态分布 N( 2), 现从某天的产品中

7、随机, 若 2=0.06, 求 的置信区间 若 2未知,求 的置信区间 求方差 2的置信区间.,抽取 6 件, 测得直径为,15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1,解 ,由给定数据算得,由公式 (1) 得 的置信区间为, 取,查表,由给定数据算得:,由公式 (2) 得 的置信区间为,由公式 (3) 得 2 的置信区间为, 选取枢轴量,查表得,由给定数据算得:,例2 设总体X 服从正态分布 N( 1), 为得到 的置信度为0.95 的置信区间的长度不超过1.2, 样本容量应为多大? (P320),解：n=11,四、大样本置信区间,若总体 X 的分布未知,

8、但样本容量很大, 由中心极限定理, 可近似地视为,对给定的置信度1 - , 则 EX 的置信区间可取为,若2 未知, 则 EX 的置信区间可取为,为取自总体 N ( 1 12 ) 的样本,为取自总体 N ( 2 22 ) 的样本,置信度为 1 ,以下分别讨论两均值差和两方差比的置信区间.,分别表示两样本的均值与方差.,五、两个正态总体的置信区间,的置信区间为,(2) 未知, 但,的置信区间为,(3) 未知, 但 已知, 的置信区间为,(4) 未知, n, m 50, 的置信区间为,当m, n并不是很大时,可采用如下的近似方法:令s02= sx2/m + sy2/n , 取枢轴量,此时T既非N(

9、0,1)也非t分布,但研究表明它与自由度为l的t分布很接近, 其中,(5) 一般情况下的近似置信区间,若l 不是整数,可近似来取,于是近似为T t ( l ),例5 为比较两个小麦品种的产量,选择 18 块条件相似的试验田,采用相同的耕种方法,结果甲种的8块试验田的单位面积产量和乙种的10块试验田的单位面积产量分别为,甲种 628 583 510 554 612 523 530 615,假设两品种单位面积产量都服从正态分布,试求这两个品种平均单位面积产量差的置信区间.(取=0.05)(P326),乙种 535 433 398 470 567 480 498 560 503 426,例6 某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱. 现分别 从两条流水线上抽取了容量分别为 13 与 17 的两个相互独立的样本,与,已知,假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布, 其均值分别为 1与 2 ,若不知它们的方差是否相同, 求它们的方差比的置信度为0.95的置信区间.,(1) 若它们的方差相同,求均值差,的置信度为0.95 的置信区间;,解,查表得,由公式(6) 的置信区间为,(1) 取枢轴量,(2) 枢轴量为,查表得,由公式(10)得方差比 的置信区间为,六、单侧置信区间,设灯泡寿命服从正态分布. 求灯泡寿命均值的置信水平为 0.95 的同等单侧置信下限.,例7 从一批灯泡中随机抽取 5