线性代数的几何含义.ppt

1、线性代数的软件实践,线性代数概念的几何含义及MATLAB绘图演示,西安电子科技大学 杨威 2010.7,一、线性方程组解的几何含义,二、向量及向量运算的几何含义,四、行列式的几何含义,五、线性变换的几何含义(特征向量),六、二次型的几何含义,基本内容,三、向量组线性相关性的几何含义,一、进一步理解线性代数抽象概念 的几何含义,二、掌握MATLAB软件实现线性代数 基本运算的命令,基本目标,三、灵活应用MATLAB软件的绘图功能 演示线性代数概念的几何含义,一、线性方程组解的几何含义,1、二元方程组,例1 求下列非齐次线性方程组的解，并用MATLAB绘出 解的情况。,解：用MATLAB解线性方程

2、组 Ax=b 的方法有：,用MATLAB绘制直线的简单方法为：,（1）求逆法（A为方阵）：x=inv(A)*b，或 x=A-1*b,（2）初等行变换法：rref(A,b),（3）左除法：x=Ab,ezplot() 单引号内为直线方程,在MATLAB命令窗口中运行程序 g01.m，可以得到图形：,一、线性方程组解的几何含义,2、三元方程组,例2 求下列线性方程组的解，并用MATLAB绘出解的情况。,（1）,（2）,（3）,（4）,解：用MATLAB的 rref 命令可以解得：,用MATLAB绘制平面的简单方法为：,方程组（1）有唯一解,方程组（2）有无穷组解,方程组（3）和（4）无解,ezmes

3、h() 单引号内为平面方程,在MATLAB命令窗口中运行程序 g02.m，可以得到图形：,一、线性方程组解的几何含义,3、用MATLAB解矛盾方程的近似解,例3 下表给出平面坐标系中5个点的坐标，求过这5个点的圆心坐标。并用MATLAB绘出该圆。,解：设圆心坐标为(x，y)，根据圆心到已知5点的距离相等，列方程：,进行化简，可以得到以下线性方程组：,在MATLAB命令窗口中运行程序 g03.m，可以得到图形：,二、向量及向量运算的几何含义,1、向量的几何含义,二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。如下图所示。,二、向量及向量运算的几何含义,2、

4、向量加法的平行四边形法则，如图所示,3、负向量与向量减法：u-v=u+(-v),二、向量及向量运算的几何含义,4、向量的数乘,设u=(1,2,3)T, 那么2u=(2,4,6)T,如图所示,可知2u与u共线，它们的长度是2倍关系。,二、向量及向量运算的几何含义,5、向量的线性表示举例,例4 已知向量,，请用向量,u和v来线性表示向量w，并用MATLAB绘制出线性表示情况。,解：求解方程组,，解得：,在MATLAB命令窗口中运行程序 g04.m，可以得到图形：,三、向量组线性相关性的几何含义,1、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这 两个向量线性无关,2、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个

5、 向量线性相关,3、若三个向量不共面，则这三个向量线性无关,4、若三个向量共面，则这三个向量线性相关,三、向量组线性相关性的几何含义,5、三个3维向量线性相关性的判断,例5 分析向量组,的线性相关性，,并用MATLAB绘制其图形。,解：设A=(u,v,w)，计算A的行列式|A|，可以判断其线性相关性。,在MATLAB命令窗口中运行程序 g05.m，可以得到图形：,四、行列式的几何含义,1、行列式的几何含义,设u、v为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵A=(u,v)的行列式|A|的绝对值。,设u、v，w为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵A=(u,v,w)

6、的行列式|A|的绝对值。,四、行列式的几何含义,2、行列式几何含义的应用举例,例6 （1）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为： (1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积； （2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3), (-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。 （3）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。,解：(1)如图所示，三角形 ABC 的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：,解：(2)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。,在MAT

7、LAB命令窗口运行程序g06.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：,五、线性变换的几何含义,1、线性变换几何含义举例,例7 已知向量 。请分析经过线性变换,后，向量 与向量 的几何关系。其中 分别为：,在MATLAB命令窗口运行程序g07.m，可以得到图形：,五、线性变换的几何含义,2、特征向量几何含义的举例,例8 已知矩阵,MATLAB分析特征向量的几何含义。,，求它们的特征值和特征向量，并用,解：用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为：,用MATLAB演示矩阵A的特征向量几何含义的命令为：,（1）r=eig(A),列向量r为矩阵A的特征值,（2）V,D=eig(A)，

8、对角矩阵D的对角线元素为矩阵A的特征值，矩阵V的列向量为矩阵A的特征向量。,eigshow(A),在MATLAB命令窗口运行程序g08.m，可以分别得到图形：,五、线性变换的几何含义,3、线性变换应用举例（刚体的平面运动）,例9 用下列数据表示一个“A”形状的刚体。,利用线性变换，对该刚体进行以下平面运动。 （1）向上移动15，向左移动30； （2）先逆时针转动90,然后向上移动30，向右移动20； （3）先向上移动30，向右移动20,然后逆时针转动90。,解：用3n的矩阵X来表示刚体图形，其中第3行全为1。,设平移矩阵为： ，平移变换为： 。,转动矩阵为： ，转动变换为： 。,在MATLAB命令窗口运行程序g09.m，可以得到图形：,六、二次型的几何含义,1、利用正交变换化二次型为标准形的几何含义。,例10 用正交变换，把下列二次型化为标准形，并讨论变换前后所对应的二次曲线 及 。,解：用MATLAB命令eig可以算出二次型矩阵的特征值分别为：4.3820，6.6180 和3.