第四章 有限集和无限集.ppt

1、第四章 有限集与无限集,有限集S的元素的个数称为S的基数，可记为|S|。 自然数集N是无限集。 实数集R是无限集。 基数是与集合的元素数量有关的概念。在有限集中， 基数即是元素的个数，而在无限集中，集合基数就 变得复杂了。理论上讲，无限集中元素数量为无限， 但这太笼统了，因为个数中其浓度与密度是不同的。 如：实数与自然数同为无限个元素，但是实数无限浓度高于自然数的无限浓度。,有限集,性质1：如果A和B是分离的有限集合，则有 |AB|A|B|。 性质2：如果A和B是有限集合，则有 |AB|A|B|AB|。,B,A,B,A,有限集,性质3：如果A、B和C是有限集合，则有 |ABC|A|B|C|AB

2、|AC| |BC| |ABC|。,B,A,C,有限集,例：120个学生中有100个学生至少要学法、德、英三种语言中的一种，假定有65人学法语，45人学德语，42人学英语，20个人学法语和德语，25人学法语和英语，15人学德语和英语，请问同时学三种语言的有多少人？ 解：令A、B、C表示学法语学、德语和英语的人数 100654542202515|ABC| 所以 |ABC|8。,有限集,性质3：如果n个有限集合S1,S2,Sn，则有 |S1S2Sn|Si| -|SiSj|+|SiSjSk| +(-1)n-1|S1S2Sn|。,无限集的性质,定义：集合A与B的元素间如果存在一一对应的关系，则说A与B是

3、等势的，记为AB。 集合间的等势关系是一种等价关系。 对于有限集而言，两个集合等势即表示两个集合有 相同的元素个数。 如A=a,b,c,d,e,A与0,1,2,3,4等势，故A是有限集。,对于无限集而言，两个集合等势表现为两个集合间的元素存在一一对应的关系。 例如：自然数集N，S为其子集S=1,3,5 N=0,1,2,3 S=1,3,5,7,无限集的性质,性质1：一集合为无限集，则它必含有与其等势的真子集。 无限集的这个特性可以用来区分有限集和无限集。 性质2：一集合为无限集的充分必要条件是有与其等势的真子集。,无限集的性质,定义：一集合若存在与其等势的真子集称为无限集；否则，称为有限集。 定

4、义：凡与自然数集N等势的集合称为可列集。 也可以将有限集与可列集合称为可数集， 故可列集也可称为可数无限集。 性质：可列集的无限子集仍为一可列集。 可列集是无限集中的最小集合。,无限集的性质,例如：整数集I是可列集。 N=0,1, 2, 3, 4, 5, 6 I=0,1,-1, 2,-2, 3,-3 有理数集Q为可列集。 一切有理数都可写为m/n的形式，对于分数可以按照分子和分母的顺序排列。 实数集R是不可列集。,无限集的性质,因为自然数集N不可能与某个自然数n等势。所以N的基数不能是有限数，就用一个“无限大”的数0表示（Aleph零）。 可列集是与自然数集中元素可以建立一一对应的集 合，即可列集与自然数集等势，势也为Aleph零。 所以我们可以用等势来表示集合间的大小比较。 由于可列集是最小的无限集，故已经没有比可列集更小的无限集了。因此，其他无限集的势比Aleph零要大，如实数集比可列集要大，它的基数是Aleph。,无限集的性质,德国数学家康托尔证明了在无限集中还有比Aleph零和Aleph更大的无限集。如幂集。 设A是有限集合, 则|A| 0