2017_2018学年高中数学第二章变化率与导数2.1变化的快慢与变化率课件北师大版.pptx

1、2.1变化的快慢与变化率,1.函数的平均变化率 函数y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率 (1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).记x=x2-x1,y=f(x2)-f(x1).,(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. (4)作用:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢.,名师点拨对平均变化率的理解 (1)y=f(x)在区间x1,x2上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间x1,x2上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”. (2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间x1,x2上越“陡峭”,反之亦然.

2、 (3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在 时间段t1,t2上的平均速度,即 (4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0. (5)注意变量的对应,若x=x2-x1,则y=f(x2)-f(x1),而不是y=f(x1)=f(x2).,【做一做1】 函数f(x)=x2在区间-1,3上的平均变化率是(),答案:B,2.瞬时变化率及瞬时速度 对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设x=x1-x0,y=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是,而当x趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0

3、点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢. 名师点拨1.瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢. 2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.,【做一做2】 如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2 s末的瞬时速度为() A.-4.8 m/sB.-0.8 m/s C.0.88 m/sD.4.8 m/s,即t=1.2 s时的瞬时速度为-4.8 m/s.,答案:A,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)对于常数函数y=a(

4、a是常数),它的平均变化率为0. () (2)若函数f(x)在区间x1,x2内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在区间x1,x2上没有发生变化. () (3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间x1,x2上的改变量x为任意实数. () (4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y是f(x0+x)-f(x0). () (5)瞬时速度是平均速度的极限值. (),探究一,探究二,探究三,思维辨析,平均变化率 【例1】 求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率. (1)2,2.1;(2)2,2+x. 分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解.,解:(

5、1)函数y=3x2+2在区间2,2.1上的平均变化率为,(2)函数y=3x2+2在区间2,2+x上的平均变化率为,反思感悟求函数平均变化率的步骤 第一步,求自变量的改变量x=x2-x1, 第二步,求函数值的改变量y=f(x2)-f(x1).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间1,1+t内相应的平均速度为() A.-3t-6B.-3t+6 C.3t-6D.3t+6,解析:质点在1,1+t内的平均变化率,答案:A,探究一,探究二,探究三,思维辨析,瞬时变化率 【例2】 已知s(t)= gt2,其中g=10 m/s2. (1)求t从3 s到3.

6、1 s的平均速度; (2)求t从3 s到3.01 s的平均速度; (3)求t在t=3 s时的瞬时速度. 分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.,解:(1)t=3.1-3=0.1 (s),t指时间改变量,探究一,探究二,探究三,思维辨析,(2)t=3.01-3=0.01 (s),t指时间改变量,(3)由瞬时速度的定义可知,当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤 (1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t); (2)由时间改变量t确定位移改变量s=s(t0+t)-s(t0);,探究一,探究二,探究三,思维辨析,

7、变式训练2以初速度v0(v00)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t- gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.,因此物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,平均变化率的应用 【例3】 求函数y=x2在x0到x0+x之间的平均变化率,并结合图像探讨当x取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点及其含义. 分析:由题目可获取以下主要信息:已知函数的解析式;求该函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义,解答本题时可数形结合,根据定义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,则函数图像越陡峭. 反思感悟函数的平均变化率反映了函数图像上两点连

8、线的斜率,函数平均变化率的绝对值越大,斜率的绝对值越大,图像也越陡峭.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点在2,2+t(t0)上的平均速度不大于5,则t的取值范围是.,解析:质点在2,2+t上的平均速度,又t0,t的取值范围是(0,1.,答案:(0,1,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因错用平均变化率公式而致误 【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,-14),求该曲线在PQ段的平均变化率. 易错分析:在函数的平均变化率的求法公式中,y必须对应x,即若x=x2-x1,则y=f(x2)-

9、f(x1),若x=x1-x2,则y=f(x1)-f(x2).,解:x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14, x=x2-x1=2-1=1,y=y2-y1=-14-0=-14.,纠错心得在平均变化率的定义中,增量x的形式是多种多样的,但不论x是哪种形式,y必须选择相对应的形式.如x=x0-(x0-x),则y=f(x0)-f(x0-x);x=(x0+h)-(x0-h),则y=f(x0+h)-f(x0-h).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请计算t0,0

10、.5时的平均速度 及t1,2时的平均速度 .,解:当t0,0.5时,t=0.5-0=0.5 (s), h=(-4.90.52+6.50.5+10)-(-4.902+6.50+10)=2.025 (m),当t1,2时,t=2-1=1 (s), h=(-4.922+6.52+10)-(-4.9+6.5+10) =-8.2 (m),1 2 3 4,1.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变化到1.1时,函数的平均变化率为() A.2.1B.1.1C.2D.0,答案:A,1 2 3 4,2.一物体的运动曲线为s=2t3,则其在第t=3秒时的瞬时速度是() A.6B.18C.54D.81,解析:由瞬时速度的定义可知s=2(t+t)3-2t3=2(3+t)3-233=54t+1