量子力学 第4章.ppt

1、第4章 力学量随时间的演化,4.1 力学量随时间的演化 4.2 波包的运动 4.4 守恒量与对称性 4.5 全同粒子体系,4.1 力学量随时间的演化,4.1.1 守恒量 经典力学：守恒力学量不随时间而改变. 量子力学: 每一时刻,不是所有力学量都有确定值, 一般只有确定的概率分布与平均值. 本节讨论力学量随时间的演化问题和守恒力学量 的问题.,若体系的状态波函数是,一、力学量平均值随时间的变化,由薛定谔方程：,最后得到,当力学量不显含时间时，,这就是力学量平均值随时间的变化,二、守恒量 守恒力学量的定义 若一个力学量的平均值不随时间变化,则该力学量是一个守恒力学量. 换句话说 若 则A是守恒力

2、学量.,2. 推论: 若 A 不显含t，而且A，H=0 则A是守恒力学量。,即: 这种力学量在任何态下的平均值不随时间改变。这样的定义与经典力学相吻合,因为宏观量可以看作是微观量的平均值. 可以证明守恒力学量测量值的概率分布也不随时间改娈.,关于量子体系的守恒量的几点说明,量子体系的守恒量不一定取确定值，即体系的状 态并不一定就是某个守恒量的本征态。 若初始时刻体系处于守恒量A的本征态，则体系 将保持在这个本征态；若初始时刻体系并不处在守恒 量A的本征态，以后的状态也不是A的本征态。量子 体系的各守恒量并不一定都可以同时取确定值。 与定态区分： 定态：体系的一种特殊的状态能量本征态。 在定态下

3、，一切力学量（不显含t）的平均值和测量 概率分布都不随时间改变。 守恒量：体系的一种特殊的力学量，与哈密顿 量对易。在一切状态下的平均值和概率分布都不随 时间改变。,3. 守恒量的例子 （1）自由粒子的动量p,（2）粒子在中心力场中运动的角动量,粒子在中心力场中运动时，动量并不守恒。,不含时间 t ,且都与 H 对易, 所以动量 是守恒力学量.,自由粒子的哈密顿量：,不含时间 t ,且都与 H 对易,所以角动量 是守恒力学量.,(3)能量守恒,5. 宇称,相应本征函数：,宇称算符连续作用两次波函数保持不变,一般的态不一定具有确定的宇称， 任意态是奇宇称和偶宇称态的迭加态。（完备性）,宇称守恒,

4、4.3 力学量期望值的运动方程,当 与时间无关时，可以得到,由薛定谔方程：,其中,1. 波函数随时间的变化,称为演化算符, 与 对易， 的时间变化率为,是么正变换：,演化算符的性质,力学量 A(r,p) 在状态 (r,t) 下的平均值,力学量 A(r,p) 的平均值 随时间的演化 ：,2. 力学量平均值随时间的变化,(3),3. 海森伯运动方程,(12),(1),一般地说，对（12）式取平均，不等于（3）式。可以证明（见张永德书p362.3(2.11b)式）：,只有当算符,(12),不显含时间时，才有,即,动量表象量子化,在经典力学中，坐标与动量是一对共轭量，是平权的，因此保持动量不变可得到坐

5、标的算符形式。因此在动量表象下，计算坐标的平均值，可以得到坐标算符：,类似的推导，可以得到角动量算符：,量子化,一 维,保持对易关系不变,（一）引言 （二）F-H 定理 （三）实例,P95习题(4.7) Feynman-Hellmann 定理及应用,关于量子力学体系能量本征值问题，有不少定理，其中应用最广泛的要数 Hellmann - Feynman 定理（简称 H-F定理）该定理的内容涉及能量本征值及各种力学量平均值随参数变化的规律。,（1）当体系的能量本征值已求出，借助于H-F定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算； （2）利用 H-F 定理可以很巧妙

6、地推出维里定理。,（一）引言,设体系的 Hamilton 量 H 中含有某参量 ，En 是 H 的本征值，n 是归一的束缚态本征函数（n 为一组量子数），则,（二）H - F 定理,证,据题设，n 满足本征值方程：,对 求导数得：,显然 En 和n 与参数 有关。,两边积分,方程左边第一项,所以方程左边 =0,证毕,H - F 定理很有实用价值，H 中的质量, 常数 等都可以选为参数 。,（1）证明一维谐振子 = 。,证,一维谐振子 Hamilton 量：,方法 I：,取质量作为参数,由HF 定理,简记为,（三）实例,方法 II,令 = ,方法 III,取 = ,由HF 定理,由 HF 定理,

7、作业：已知,由 H-F 定理计算一维谐振子势能的平均值 和 动能的平均值 。,（3）证明维里定理,即,证,I.在坐标表象,由 HF 定理,II.在动量表象,由HF定理,将 视为参数,取平均与 表象无关,当势能是齐次函数时，即,两边对 求导，再令 =1, 左边,右边对 求导，再令 =1,左边 = 右边,又因为,所以，当势能是 k 次齐次函数时，有,由此得到,此即位力定理,体系的波函数,交换算符,交换算符的本征方程,所以,反对称,对称,4.5 全同粒子体系与波函数的交换对称性,因为,交换算符是守恒量,所以,交换对称的粒子，称为玻色子，遵从玻色-爱因斯坦统计规律，自旋为整数。,交换反对称的粒子，称为

8、费米子，遵从费米-狄拉克统计规律，自旋为半整数。,无相互作用二粒子体系,由两个粒子的单粒子波函数可以组成总波函数。,单粒子满足方程,费米子 交换反对称，总波函数为,写成行列式形式,对 N 个全同费米子体系,交换反对称，总波函数为,N 个全同的 Fermi 子体系中，不能有 2 个或 2 个以上的 Fermi 子处于同一状态，这一结论称为 Pauli 不相容原理。 波函数的反对称化保证了全同Fermi 子体系的这一重要性质。,Pauli 不相容原理,全同玻色子体系交换对称,由 2 个粒子的单粒子波函数可以组成总波函数。,由 N 个全同的 Bose 子的单粒子波函数， 可以组成对称的总波函数。,p94例: N = 3 Bose 子体系,，设有三个单粒子态, 分别记为 1 、2 、 3 ，求：该体系对称化的波函数。,I。n1=n2=n3=1,II。n1=3，n2=n3=0 n2=3，n1=n