11.1 复数的概念及运算.ppt

1、(理解复数的基本概念/理解复数相等的充要条件/了解复数的代数表示法及其几何意义/掌握复数代数形式的四则运算/了解复数代数形式的加、减运算的几何意义),第十一单元 数系的扩 推理与证明,11.1 复数的概念及运算,一、复数的有关概念 1虚数单位i (1)它的平方等于1，即i21； (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时， 原有加、乘运算律仍然成立 2复数的定义：形如abi(a，bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示,3复数的代数形式：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式 4复数的分类

2、：对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，复数abi(a、bR)是实数a；当b0时，复数zabi叫做虚数；当a0且b0时，zbi叫做纯虚数 5两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等,6复平面、实轴、虚轴：如图，复数zabi(a、bR)与有序实数对(a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数zabi(a、bR)，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定，复数z对应点的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a、bR)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实

3、轴上的点都表示实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数,二、复数的运算 1复数的四则运算法则 若复数z1abi，z2cdi，其中a，b，c，dR，则 (1)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (2)z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i. (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i. (4)(abi)(cdi) .,2复数的加法乘法运算律 (1)z1z2z2z1. (2)(z1z2)z3z1(z2z3) (3)z1z2z2z1. (4)z1(z2z3)(z1z2)z3. (5)z1(z2z3)z1z2z1z3. 3虚数单位i的乘方 i4n1i，i4n21，i4n3

4、i，i4n1.(其中nZ),1设a是实数，且 是实数，则a等于() A. B1 C. D2 答案：B 2在复平面内，复数 对应的点位于() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析： 1i，则复数 对应的点(1，1)在第四象限 答案：D,3(2010开封高三月考)复数 () A1 B1 Ci Di 解析： 1. 答案：A 4复数(1i)3的虚部为() A3 B3 C2 D2 解析：(1i)32i(1i)22i.则复数(1i)3的虚部为2. 答案：D,5复数 的值是_ 解析： 答案：,1. 根据复数的代数形式，通过其实部和虚部可判断一个复数是实数，还是虚数 2复数zabi，aR，bR

5、与复平面上的点Z(a，b)是一一对应的，通过复数z的实部和虚部可判断出其对应点在复平面上的位置,【例1】已知复数z与(z2)28i均是纯虚数，则z_. 解析：设zai，aR且a0，则(z2)28i4a2(4a8)i. (z2)28i是纯虚数，4a20且4a80. 解得a2. 因此z2i. 答案：2i,变式1. 复数z (mR，i为虚数单位)在复平面上对应的点 不可能位于() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 解析：解法一：z 显然 0与 0不可能同时成立， 则z 对应的点不可能位于第一象限,解法二：z 设x ，y ，则2xy20 又直线2xy20不过第一象限， 则z 对应的点不可

6、能位于第一象限 答案：A,复数的加减乘法运算类似于多项式的加减乘法运算，而复数的除法是通过分母的实数化转化为复数的乘法运算,【例2】已知z1i， 1i，求实数a、b的值 解答：由 1i，把z1i代入得 1i， 1i. (ab)(a2)i(1i)i1i， 得,变式2. 求值：(1) (2) 解答：(1)原式 (2)设 ，则31， i. 原式(i)88(1i)862(2i)4162 ,1. 利用代数形式进行复数的乘方运算一般方法就是利用二项式定理展开 2在进行复数乘方运算时要注意以下特殊结论的应用： (1)虚数单位i的乘方；(2)(1i)22i； (3)1的三次虚根 的乘方,【例3】(1)复数(

7、)10的值是() A1 B1 C32 D32 解析：本小题主要考查复数的运算，以及虚数单位的性质 答案：A,(2)复数 的值是() A16 B16 C D. 解析：本小题主要考查复数的运算. 答案：A,【方法规律】,1复数可以用代数形式，复平面中的点表示，还可以用三角形式和向量表 示等，要注意数形结合思想方法的运用 2可以用复数相等的定义，将复数问题转化为实数问题来解决 3一般两个复数不存在大小关系(除非两个复数都是实数)这也是复数与实 数的区别之一在数系扩充后有关实数的一些结论在复数范围内未必成 立如实数中a2b20的充要条件是ab0，在复数集中不一定成立 4复数的加、减、乘法运算类似多项式的运算，虚数单位的乘方结果呈周 期性的变化，复数的除法通过分母实数化转化为乘法运算,5对于简单的复数乘方运算，可以利用二项式定理进行运算，特殊的可利 用：(1)(1i)22i； (2)若 ， 则3n1，3n1，3n2 ，nN. 6在复数集中分解因式，对于x的多项式，都可分解为x的一次因式，分解 因式与对应方程解的关系与实数集中分解因式与对应方程解的关系是一样的 7可利用复数的代数形式，根据复数相等的定义进行复数的开平方运算.,(本题满分4分)已知 1ni，其中m，n是实数，i是虚数单位，则mni等于() A12i B12i C2i D2i,【答题模板】,解析：由 1ni，