18_最小二乘快速横向滤波(FTF).ppt

1、3.4.4 快速横向滤波(FTF)自适应算法,FTF算法是由4个横向滤波器组合起来的一种自适应算法. 由于这4个滤 波器都是用横向滤波算子描述的, 因此这些滤波器的参数更新可利用该算 子的时间更新来实现, 并进而达到横向自适应滤波器参数更新的目的. 1. 用矢量空间法描述FTF算法中的4个横向滤波器 （1）最小二乘横向滤波器 设一 阶横向滤波器的权矢量为 时刻的输入信号矢量 期望信号矢量,Fast Transversal Filter (FTF) Adaptive Algorithm,由已知的 来估计 , 这时, 横向滤波器的输出是 的最小二乘 估计 , 即滤波方程为 (3.4.125) 其中

2、, 采用前加窗法时的数据矩阵 由于最小二乘横向滤波器的权矢量由下式决定: (3.4.126) 定义横向滤波算子(又称横向滤波器的投影矩阵): (3.4.127) 则式(3.4.126)可写成 (3.4.128),上式表明, 权矢量 是横向滤波算子 各行矢量与 的内积. 将式(3.4.128)代入式(3.4.125), 可得 (3.4.129) 估计误差矢量为 (3.4.130) 式中， 和 分别是数据子空间 的投影矩阵和正交投影矩阵。 利用单位现时矢量 , 可求出误差矢量 的当前分量: (3.4.131) （2）前向预测误差滤波器 最小二乘前向预测器是用 时刻以前相继的 个数据, 对该时刻的

3、做最小二乘估计, 即 (3.4.132),在最小二乘意义下, 预测系数(权系数)矢量的最佳解为 引入横向滤波算子 (3.4.133) 考虑到数据子空间 的投影矩阵: 因此得到 (3.4.134) 式(3.4.134)表明, 用横向滤波算子 作用于数据矢量 , 便可求出 最小二乘前向预测系数矢量 (即最佳权矢量). 最小二乘前向预测误差矢量为 (3.4.135),其当前分量为 (3.4.136) 根据前向线性预测滤波器的输入输出关系, 上式还可表示为 (3.4.137) 预测误差能量为 (3.4.138) （3）后向预测误差滤波器 最小二乘后向预测器, 是利用 时刻以后的 个相继数据 ,向后一步

4、预测 即延时数据 . 根据上 节分析, 的最小二乘后向预测矢量为 (3.4.139) 在最小二乘意义下, 后向预测系数(权系数)矢量的最佳解为,引入横向滤波算子 (3.4.140) 考虑到子空间 的投影矩阵 因此得到 (3.4.141) (3.4.142) 式(3.4.141)表明, 用横向滤波算子 作用于延时数据矢量 , 便可求出最小二乘后向预测系数矢量 (即最佳权矢量). 最小二乘后向预测误差矢量为 (3.4.143) 其当前分量为 (3.4.144),误差能量为 (3.4.145) （4）增益滤波器 a) 什么是增益滤波器? 确切而言, 增益滤波器实际是关于角参量的滤波器. 现以图3.4

5、.9所示的 一维数据空间为例予以说明. 设 时刻的数据子空间为 , 时刻的数据子空间为 , 两者 之间的夹角为 , 角参量为 (3.4.146),若一维子空间 的投影矩阵为 , 单位现时矢量 在 上投影为 , 令 (3.4.147) 很明显, 矢量 就是 对 的最小二乘估计. 如果把这种估计 看成是 通过一个最小二乘滤波器的输出, 则 便是这个最佳滤波器的增益(即最小二乘滤波器系数), 因此,把该滤波器称为增益滤波器.,b)估计误差矢量与角参量 在上述情况下, 由 对 进行最小二乘估计的误差矢量为 (3.4.148) 式中, 是对 的正交投影矩阵. 由角参量的定义可知, 的当前分量等于该时刻的

6、角参量 (3.4.149) 将式(3.4.148)代入上式, 得 即 (3.4.150),参见华中教材p83, 式(3.186):,由上式得到 (3.4.151) 可以看出, 增益滤波器的增益 与 一样, 也是两个子空间 与 之间夹角的一种度量. c) 维情况 这时, 数据子空间为 , 相应的投影矩阵为 , 将一维的式 (3.4.147)推广, 得 (3.4.152) 式中, 称为增益滤波器的增益矢量(或系数矢量, 权矢量). 上式两边同乘以 , 可进一步得到 (3.4.153) 其中, 是增益滤波器的横向滤波算子. 上式说明, 增益矢量 可以通过 作用于单位现时矢量 来得到.,维时的角参量为

7、 (3.4.154) 式中, (3.4.155),小结 由上得到4种滤波器的权矢量(或预测系数矢量, 增益矢量)的计算公式: 最小二乘横向滤波器 前向预测误差滤波器 后向预测误差滤波器 增益滤波器 以上权矢量的时间更新, 皆归结为相应的横向滤波算子的时间更新问题.,wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到,wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到,wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到,wM(n)由K0,M-1(n) 作用于x(n)得到,2. 横向滤波算子的时间更新 (1)子空间 的横向滤波算子 的更新 设 是 (行) (列)数据矩阵, 则横向滤波算子定义为 又

8、设: 列矢量; 由 的 个列矢量张成的 维子空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 将 附加到 的最后一列, 构成的 维新矩阵; 由 的 个列矢量张成的 维矢量空间; 的投影矩阵; 对 的正交投影矩阵; 的横向滤波算子.,参照式(3.4.127),可以证明，横向滤波算子 具有以下性质(证明参见教材): (a) (b) (c) ; (d) (e) (f),(2)横向滤波算子的更新 (a) 的时间更新关系式 令 于是有 由 的 个列矢量张成的 维子空间为 设子空间 的投影矩阵为 ; 横向滤波算子为 . 由 时刻投影矩阵 递推 时刻投影矩阵 的公式 如下:,见教材p83, 式(3.11.3):,

9、上式两边左乘 , 得到 (3.4.156) 注意到: 上式右边分块矩阵的最后一列是列矢量 , 利用横向滤波算 子 的性质(c), 有 设 与分块矩阵其余部分相乘后得到的矩阵的最后一行为 , 同时根据性质(a), 有 所以由式(3.11.32)得到横向滤波算子 的时间更新关系式为: (3.4.157),式中, yT(n-1)表示一个1n维矢量.,同理可得横向滤波算子的时间更新关系式为: (3.4.158) 3.FTF自适应算法中的时间更新 FTF自适应算法的目的, 是要解决权矢量 的时间更新问题, 为此要 涉及 , , 等一系列参量的更新. (1)横向滤波器 的更新 推导思路 (a)利用横向滤波

10、算子性质(e): 式中, 取 , .,式中, bT(n-1)表示一个1n维矢量.,(b)其它有关公式: 结论 由 时刻递推计算 时刻的权矢量的时间更新公式为 (3.4.159) 上式表明, 在由 递推计算 时, 还必须事先计算 , 和. (2)增益滤波器 的更新 推导思路 (a)利用横向滤波算子性质(f):,式中, 取 , , 于是有 (b)再利用前向预测误差矢量的当前分量和误差能量表示式: 同时注意到, 因 则 阶增益滤波器的权矢量为 并定义 ,式中, 是 的前 个元素组成的矢量; 表示 的最后一个(即第 个)元素. 结论 (a) 时刻的 阶增益滤波器 的计算公式为: (3.4.160) 可

11、见, 计算 时需预先求出 时刻的 , 和 . (b)进一步由 求 时刻的 : (3.4.161a) 上式中的 和 可分别由式(3.4.160)求得. 该式说明, 一般情况下, 不等于 的前 个元素组成的矢量 . 利用下面将要得到的式(3.4.168), 可进一步导出下面的实用公式: (3.4.161b),(3)前向预测误差滤波器 的更新 的更新公式 推导思路 (a)利用横向滤波算子性质(f): 式中, 取 , . (b)其它有关公式:,结论 前向预测系数矢量 的时间更新公式为: (3.4.162) 上式中, , 和 是通过第 次迭代后的已知参 量, 欲得 , 还必须进一步解决 的计算问题. 问

12、题: 是用 来预测 时的前向预测误差,即计算 时需知道 , 而计算 时又要用到 ,如何解决这一问题? 前向预测的输出是 的预测值: 预测误差为,写成矢量形式, 有 (3.4.163) 其中, 数据矢量 预测系数矢量 将式(3.4.162)代入式(3.4.163), 得到 (3.4.164) 其中, (3.4.165) 由式(3.4.164)可解得 (3.4.166) 由上式计算 可避免预先计算 .,误差能量 的更新公式 直接给出更新计算公式如下: (3.4.167) (4)后向预测误差滤波器 的更新 后向预测系数矢量 的时间更新公式 (3.4.168) 由上式可看出, 为了由 计算 , 必须在

13、第 次迭代中先算出 , 和 . 的时间更新公式 (3.4.169) 其中 (3.4.170) 由上式计算 , 可避免与计算 出现的“交叉耦合”., 的时间更新公式 (3.4.171) 4.角参量的时间更新 与 的推导过程类似. 可分两步得到递推公式: 首先由 到 的更新, 其次再由 到 的更新. 结论: 由 (3.4.172) 由 (3.4.173) 或者 (3.4.174),5. FTF自适应算法流程 (1)初始化 令 ; ; . 其中, 为一个很小的正常数. (2)按时间 , 依次迭代计算以下参数 a) 前向预测误差滤波器参数:,式(3.4.165),式(3.4.166),式(3.4.167),式(3.4.162),b) 阶角参量: c) 阶