北京大学高等数学GS.ppt

1、,14 函数的极限,四、自变量趋于无穷大时函数的极限,一、单侧极限,右极限的通俗定义、,右极限的几何意义、,极限的局部保号性、,右极限的精确定义、,函数极限精确定义、,极限的通俗定义、,极限的精确定义、,极限的几何意义、,水平渐近线,二、双侧极限,左极限的精确定义、,三、关于函数极限的定理,1.4 函数的极限,序列的极限是函数极限的特殊情形.,下面考虑一般函数的极限,即在自变量x的某一变化过程中,函数 的变化情况.这时,自变量的变化有下面这些可能:,一、单侧极限,例 符号函数,称符号函数在原点的右极限为1,记作,称符号函数在原点的左极限为1,记作,记为,例3. 函数y = x= xx,表示x的

2、小数部分.,称函数x在点x=1的右极限为0,记作,称函数x在点x=1的左极限为1,记作,显然,对任意整数 n,都有,当x0+0或x00时，函数值在-1与+1之间变动无限多次，,5,例6,a x b,定义 ( 右极限和左极限 ),a x b,右极限和左极限统称为单侧极限.,二、双侧极限,f (x)=l 或 f (x) l (当x a),双侧极限的通俗定义： 在自变量趋于常数a的过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接 近于某一确定的常数l，那么这个确定的常数l就叫做在这一 变化过程中函数f(x)的极限当x a时，f(x)以 l为极限记为,分析：当xa时，f(x) l 当| x-a | 0 时，|

3、f (x)-l |能任意小 任给e 0， 当| x-a |小到某一时刻，有|f (x)-l |0， 存在d 0， 使当|x-a | d 时 ，有|f (x)-l|e ,定义,此时也称当xa时,f (x)的极限存在.此定义也可表达为:,或,d,函数极限的几何意义,d,目的：对任意的e0, 要找d0，使得0|x-x0|d 时，有 |f(x)-l|e. 即 l-e f (x) l+e.,哈哈, d 找到了!,这样的d 也能用,看来有一个d 符合要求,就会有无穷多个d 符合要求!,d,d,例7 函数,当x0时f(x)的极限不存在,因为f(x)在 x = 0 的左极限为,右极限为,所以极限 不存在,因此

4、对于任意给定的正数e ，,任意取一正数d ，,当0|x-x0|d 时，都有,|f (x)-c|=|c-c|=0e,成立，所以,下面举例说明如何用-语言证明函数极限式.：,证明: 这里|f (x)-c |=|c-c|=0，,注 函数极限定义中不要求函数y=f(x)在点a有定义.我们仅,关心:当自变量x从a的两侧趋于a时函数值的变化趋势.因此,f(a),可以不存在,即使存在,也可能和极限值没有关系.,分析:,|f (x)-l|c-c|0.,e0,d0,当0|x-x0|d 时, 都有|f(x)-l|e .,证明： 因为e 0 ， d =e 0 ，,所以,只需 |x-1|d ，即取d = e ,|f(

5、x)- 2|=|x-1|e ，,使当0|x-1|d ，有,|f (x)- 2|= | -2|=|x+1-2|=|x-1|，,要使|f (x)-2|e ，,分析：注意函数在x=1是没有定义的 但这与函数在该点是 否有极限并无关系,2,例3 证明,因此,例4 证明,证 我们有,所以,三、关于函数极限的定理,定理1,(这是函数极限的夹逼定理,证明从略),首先注意到,设法构造一个“夹逼不等式”，使函数,在x=0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个 函数 g(x), h(x) 之间，以便应用夹逼定理,作如图所示的单位圆,注,此结论可推广到,定理2,(函数极限的四则运算性质),例8,解,( 极限的局部保

6、号性),如果当xx0时f(x)的极限存, 那么这极限是唯一的,定理3 (函数极限的唯一性),5,点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)0(或f(x)0),注:这样的邻域不唯一.,定理6 如果在x0的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且,证明： 设f(x)0 假设上述论断不成立，即设l0， 那么 由上面的定理5就有 x0 的某一去心邻域, 在该邻域内 f(x)0，这与 f(x)0的假定矛盾 所以l 0,定理7,定理8,证 由假定,定理8告诉我们一个证明函数极限不存在的方法,见下例.,若当x +时，f (x)无限接近于某常数l，,类似地有 和,记为,f (x)当x +时的极

7、限，,则常数l叫做函数,叙述？这三者之间的关系如何？,如何用数学语言刻划函数“无限趋近”.,l,l,l,四、自变量趋于无穷大时函数的极限, e0， X 0， x : x X，有 | f (x)-l|e .,定义:设 f(x) 当 x 大于某一正数a时有定义如果对于任意给 定的正数e ，总存在着正数 X，使得对于适合不等式x X的一切 x，对应的函数数值 f(x) 都满足不等式 | f(x) -l | e， 则常数 l 叫做函数f (x)当x +时的极限记作,例10 证明,证,1.当x+函数极限精确定义：,2、另两种情形:,关于极限的夹逼定理,极限不等式,极限四则运算,对无穷取限,情形也都同样成立.,l,l,例11,证明,分析,l,l,l,例12 证明,证,故不妨设|x|1，,而当|x|1时,例13 求证,由夹逼定理即得,即得,推论,在此极限中令 即得,例14 设k为正整数,证明,证 (1) 由,证毕,设 在 的一个空心邻域内有定义,若对于任意给定 的正数 ,不论它多么大,总存在一个